Este blog fala sobre a geração de "labirintos tortuosos" usando um computador e enumerando-os. A enumeração pode ser feita usando o algoritmo de Wilson para obter o UST , mas não me lembro da fórmula de quantos existem.
http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike
Em princípio, o Teorema da Árvore Matricial indica que o número de árvores abrangidas de um gráfico é igual ao determinante da matriz laplaciana do gráfico. Seja o gráfico e seja a matriz de adjacência, seja a matriz de graus, então com autovalores , então:
No caso de um retângulo tanto quanto os autovalores devem assumir uma forma particularmente simples, que não consigo encontrar.
Qual é a fórmula exata (e assintótica) para o número de árvores de abrangência de um retângulo ?
Aqui está um exemplo bonito do algoritmo de Wilson em ação.
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Respostas:
De acordo com https://www.cse.ust.hk/~golin/pubs/ANALCO_05.pdf, não existe uma fórmula de forma fechada conhecida.
De acordo com http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0004341v1.pdf, o número é assintótico (para e grandes) para que mas estou não tenho certeza se esse é um limite rigoroso ou o resultado de um raciocínio baseado na física heurística. O mesmo artigo também fornece fórmulas assintóticas de tipo semelhante quando é fixado em uma pequena constante é grande.m exp ( z s q m n ) z s q = 4n m
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Os valores próprios do gráfico do retângulo m-por-n podem ser usados para obter uma expressão para o número de combinações perfeitas nesses gráficos. Veja o artigo da Wikipedia sobre inclinação de dominó .
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