Problema clássico:
Seja dado um número . O problema da classe é o seguinte.
Dado um gráfico , existe um subconjunto de vértices para que quaisquer dois vértices de sejam adjacentes?
Problema do hipergrafo:
Seja dado os números e . O problema -hiperclique é o seguinte.
Dado um hipergrafo uniforme , existe um conjunto de vértices para que qualquer subconjunto de vértices de forme uma hiper-borda.
Questões:
(1) Qual é o algoritmo mais conhecido para resolver a hiperclique ?
(2) Qual é a sua complexidade temporal?
(3) Existe alguma conexão entre hiperclique e multiplicação de matrizes?
Pelo que sei, esse pode ser um problema bem estudado. Todas as referências que investigam esse problema são muito apreciadas.
cc.complexity-theory
graph-theory
matrices
clique
fixed-parameter-tractable
Michael Wehar
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Respostas:
Não se sabe se existe um , e tal que hiperclique está em . Observe que o caso de é trivial. Durante anos, comuniquei esse problema a muitas pessoas e o ensinei no CS266 em Stanford, devido à sua conexão com a solução de -Sat. (Várias sessões de problemas abertos em workshops provavelmente registraram isso.) Aqui estão algumas coisas que eu sei:ε>0 c>2 k>c (c,k) nk−ε k≤c k
Eu provei há vários anos que resolver em gráficos de nós em tempo implica hiperclique em tempo. Ainda não publicou.4−cycle n n2−ε (3,4) n4−ε
ATUALIZAR (ago 2019) o resultado mencionado e algumas generalizações agora aparecem no artigo
Andrea Lincoln, Virginia Vassilevska Williams, R. Ryan Williams: Dureza apertada para ciclos e caminhos mais curtos em gráficos esparsos . SODA 2018: 1236-1252
Se você puder resolver hiperclique como indicado acima, o Max-3-Sat poderá ser resolvido em menos de tempo. Da mesma forma, resolver a hiperclique produziria um algoritmo -Sat mais rápido . Então, se você acredita em ETH forte, há um limite óbvio aqui. A redução é uma generalização natural da redução de Max-2-Sat para descoberta de triângulo ( clique) do ICALP'04 e minha tese de doutorado.(3,4) 2n (k,k+1) k (2,3)
Você pode resolver a hiperclique em , generalizando o artigo Algoritmos eficientes para problemas de clique .(c,k) nk/(logn)Ω(k)
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