Dado um gráfico livre de 4 ciclos

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O problema da k ciclo é o seguinte:

Instância: Um gráfico não direcionado G com n vértices e até arestas.(n2)

Pergunta: Existe um ciclo- (adequado) em ?GkG

Antecedentes: Para qualquer fixo , podemos resolver ciclo em .2 k O ( n 2 )k2kO(n2)

Raphael Yuster, Uri Zwick: encontrando ciclos ainda mais rápidos. SIAM J.
Matemática Discreta. 10 (2): 209-222 (1997)

No entanto, não se sabe se podemos resolver os 3 ciclos (ou seja, 3 clique) em menos do que o tempo de multiplicação da matriz.

Minha pergunta: Assumindo que G não contém 4 ciclos, podemos resolver o problema de 3 ciclos em ?O(n2)

David sugeriu uma abordagem para resolver essa variante do problema de 3 ciclos no tempo .O(n2.111)

Michael Wehar
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Parece que, se o menor ciclo de um gráfico tiver duração de pelo menos 5, ele terá no máximo O ( n 3Gbordas. Link:link.springer.com/article/10.1007%2FBF01787638O(n32)
Michael Wehar
Informações adicionais podem ser encontradas neste documento: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.94.8121
Michael Wehar

Respostas:

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Sim, isso é conhecido. Ele aparece em uma das referências obrigatórias sobre a descoberta de triângulos ...

Ou seja, Itai e Rodeh mostram no SICOMP 1978 como encontrar, no tempo , um ciclo em um gráfico que possui no máximo uma borda a mais que o ciclo mínimo de duração. (Veja as três primeiras frases do resumo aqui: http://www.cs.technion.ac.il/~itai/publications/Algorithms/min-circuit.pdf ) É um procedimento simples baseado nas propriedades da largura procurar.O(n2)

Portanto, se o seu gráfico estiver livre de 4 ciclos e houver um triângulo, o algoritmo deles deverá produzi-lo, porque ele não pode produzir um ciclo de 5 ou maior.

Ryan Williams
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O(m2ω/(ω+1))ωω<2,373m=O(n3/2)43O(n3ω/(ω+1))=O(n2.111)

David Eppstein
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Isso é ótimo! Eu realmente gostei disso. :)
Michael Wehar
O(n32)
2kO(n1+1k)
O(n43)O(n1.876)
Além disso, para qualquer k>2, E se G é 2k-ciclo livre, então podemos determinar se G tem um ciclo de 3 tempos subquadráticos porque Gnão tem muitas arestas. No entanto, quandok=2, é aí que as coisas ficam interessantes. Podemos vencerO(n2.111)?
Michael Wehar