Como no esta questão, me interessa a vs / problema para tropical e circuitos. Essa questão se reduz à exibição de limites superiores para a dimensão VC de polinômios sobre as semirrependentes tropicais (consulte o Teorema 2 abaixo).
B P P
Seja um semicondutor. Um padrão zero de uma sequência de polinômios em R [x_1, \ ldots, x_n] é um subconjunto S \ subseteq \ {1, \ ldots, m \} para o qual existe x \ em R ^ n e y \ em I de tal modo que para todos os i = 1, \ ldots, m , f_i (x) = y sse i \ em S . Ou seja, os gráficos exatamente daqueles polinômios f_i com i \ in S devem atingir o ponto (x, y) \ em R ^ {n + 1} . ("Padrão zero" porque a condição f_i (x) = y pode ser substituída por f_i (x) -y = 0 ).R
Observação: geralmente, a dimensão VC é definida para uma família F
Um limite superior trivial em m=VC(n,d)
Teorema 1: Sobre qualquer campo RLimites superiores semelhantes foram comprovados anteriormente por Milnor , Heintz e Warren ; suas provas usam técnicas pesadas da geometria algébrica real. Por outro lado, uma prova de meia página do Teorema 1 de Ronyai, Babai e Ganapathy (a seguir mostramos) é uma aplicação simples da álgebra linear.R , temos Z(m)≤(md+nn)Z(m)≤(md+nn) .
Ao procurar por pequenos m
Teorema 2: BPP⊆P/polyVeja aqui como o resultado de Haussler implica o Teorema 2.BPP⊆P/poly é válido para circuitos em qualquer R semiring RR , em que VC(n,d)VC(n,d) é polinomial apenas em nn e logdlogd .
Em particular, pelo Teorema 1, permanece sobre qualquer campo. (Interessante é aqui apenas o caso de infinitos campos: para os finitos, argumentos muito mais simples trabalhar: Chernoff ligado, em seguida, faz o trabalho.) Mas o que dizer (infinitas) semirings que são não campos, ou até mesmo não anéis? Motivado pela programação dinâmica, estou interessado principalmente em semirrugas tropicais e , mas outras semirrugas "fora do campo" (infinitas) também são interessantes. Observe que, ao longo do semiring , um polinômio
com
eBPP⊆P/poly
Pergunta: A dimensão VC de polinômios de grau sobre polinômio de semirrópteros tropicais está em ? ≤d≤d nlogdnlogd
Admito que essa pode ser uma pergunta bastante difícil de se esperar uma resposta rápida: a álgebra tropical é bastante "louca". Mas talvez alguém tenha algumas idéias sobre por que (se houver) polinômios tropicais poderiam produzir mais padrões zero do que polinômios reais? Ou por que eles "não deveriam"? Ou algumas referências relacionadas.
Ou, talvez, a prova de Babai, Ronyai e Ganapathy (abaixo) possa ser de alguma forma "distorcida" para trabalhar durante semirrendamentos tropicais? Ou sobre quaisquer outros semirriscos infinitos (que não são campos)?
Prova do teorema 1:
Suponha que uma sequência tenha padrões zero diferentes e permita que sejam testemunhas desses padrões zero. Seja um padrão zero testemunhado pelo vetor e considere os polinômios . Afirmamos que esses polinômios são linearmente independentes sobre o nosso campo. Essa afirmação completa a prova do teorema, pois cada possui grau no máximo , e a dimensão do espaço de polinômios de grau no máximo é(f1,…,fm)
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