A norma de corte de uma matriz real é o máximo entre todos os da quantidade.
Defina a distância entre duas matrizes e para ser
Qual é a cardinalidade da menor rede do espaço métrico ?
isto é, o tamanho do menor subconjunto modo que, para todos os , exista um tal que .
(EDIT: esqueci de mencionar, mas também estou interessado em redes "não apropriadas" , com - ou seja, se os elementos do -net tem entradas fora de [0,1], isso também é interessante.)
Estou interessado nos limites superiores e inferiores.
Observe que as técnicas de sparsifier de corte implicam -nets para métricas de corte, mas fornecem algo mais forte do que eu preciso - elas fornecem uma -net para a qual você pode encontrar com eficiência um ponto -close para qualquer matriz simplesmente amostrando a partir disso matriz. Pode-se imaginar que existam redes muito menores, das quais você não pode simplesmente amostrar, encontre um ponto de fechamento para uma matriz arbitrária.
Inicialmente, fiz esta pergunta aqui no mathoverflow.
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Respostas:
Aqui está uma estimativa fácil. Aqui chamamos um conjunto S ⊆ X e ε- rede de um espaço métrico X quando, para cada ponto x ∈ X , existe um ponto s ∈ S tal que a distância entre x e s é no máximo ε . Se você deseja uma desigualdade estrita na definição de ε -net, pode ajustar um pouco o valor de ε .
Afirma que || A || ∞ ≤ || A || C ≤ n 2 || A || Where , onde || A || ∞ indica o entrywise max-norma de um n × n matriz Uma .
É fácil construir uma rede ε do espaço métrico ([0,1] N , d ∞ ) com tamanho ⌈1 / (2 ε ) ⌉ N , e não é difícil mostrar que esse tamanho é o mínimo. (Para mostrar a minimalidade, considere os pontos ⌈1 / (2 ε ) ⌉ N cujas coordenadas são múltiplos de 1 / ⌈1 / (2 ε ) −1⌉ e mostre que a distância entre dois desses pontos é maior que 2 ε .) Ao definir N = n 2 e combiná-lo com a comparação acima mencionada entre a norma de corte e a norma máxima, a cardinalidade mínima de um ε-net em relação à norma de corte é de pelo menos ⌈1 / (2 ε ) ⌉ n 2 e no máximo ⌈ n 2 / (2 ε ) ⌉ n 2 .
Atualização : Se meu cálculo estiver correto, um limite inferior melhor Ω ( n / ε ) n 2 pode ser obtido pelo argumento do volume. Para fazer isso, precisamos de um limite superior no volume de uma bola ε com relação à norma de corte.
Primeiro, consideramos a “norma de corte” de um único vetor, que é o máximo entre a soma dos elementos positivos e a soma negada dos elementos negativos. Não é difícil mostrar que o volume de uma bola ε em with n com relação a essa “norma de corte” é igual a
Em seguida, uma vez que a norma corte de um n × n matriz A é maior do que ou igual à norma corte de cada linha, o volume de uma ε -ball em ℝ n × n é no máximo o n ° de energia do volume de um bola em ℝ n . Portanto, o tamanho de uma rede ε de [0,1] n × n deve ser pelo menos
onde a última igualdade é um cálculo chato no qual usamos a fórmula de Stirling : ln n ! = n ln n - n + O (log n ).
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