-nets com relação à norma de corte

10

A norma de corte de uma matriz real é o máximo entre todos os da quantidade.||A||CA=(ai,j)Rn×nI[n],J[n]|iI,jJai,j|

Defina a distância entre duas matrizes e para serABdC(A,B)=||AB||C

Qual é a cardinalidade da menor rede do espaço métrico ?ϵ([0,1]n×n,dC)

isto é, o tamanho do menor subconjunto modo que, para todos os , exista um tal que . S[0,1]n×nA[0,1]n×nASdC(A,A)ϵ

(EDIT: esqueci de mencionar, mas também estou interessado em redes "não apropriadas" , com - ou seja, se os elementos do -net tem entradas fora de [0,1], isso também é interessante.)ϵSR+n×nϵ

Estou interessado nos limites superiores e inferiores.

Observe que as técnicas de sparsifier de corte implicam -nets para métricas de corte, mas fornecem algo mais forte do que eu preciso - elas fornecem uma -net para a qual você pode encontrar com eficiência um ponto -close para qualquer matriz simplesmente amostrando a partir disso matriz. Pode-se imaginar que existam redes muito menores, das quais você não pode simplesmente amostrar, encontre um ponto de fechamento para uma matriz arbitrária.ϵϵϵϵϵ

Inicialmente, fiz esta pergunta aqui no mathoverflow.

Aaron Roth
fonte
Como a norma de corte de A é maior ou igual ao valor absoluto de cada entrada de A, fica claro que uma rede ε deve ter tamanho pelo menos (1 / (2ε)) ^ (n ^ 2). Qual é o limite superior derivado da técnica de sparsifier de corte? (Essa provavelmente é uma pergunta idiota, mas eu não conheço essa técnica.) #
Tsuyoshi Ito
Apenas para ter certeza, transformei a primeira metade do meu comentário anterior em uma resposta (e adicionei um limite superior). Ainda estou interessado no limite superior derivado da técnica do esparsificador de corte.
Tsuyoshi Ito
A técnica acima produz matrizes com entradas em vez de em . Esqueci de mencioná-lo no post, mas também estou interessado nesses tipos de -covers. [ 0 , 1 ] ϵ{0,m||A||1}[0,1]ϵ
Aaron Roth
A -net que você obtém da esparsificação do corte não está de fato em . Interprete a matriz como uma distribuição de probabilidade sobre as arestas de um gráfico direcionado e prove arestas da distribuição. Pese cada extremidade em . Por argumentos de dimensão VC (ou apenas uma união ligada a cortes), o erro aditivo máximo em qualquer corte será . Portanto, isso implica que o conjunto de gráficos (adequadamente ponderados) nas bordas forma uma , que não é trivial para . [ 0 , 1 ] n × n m = ˜ O ( n / ϵ 2 ) | | Um | | 1 / m O ( ε n 2 ) n 5 / ε 2 ε ε > n 3 / 2ϵ[0,1]n×nm=O~(n/ϵ2)||A||1/mO(ϵn2)n5/ϵ2ϵϵ>n3/2
Aaron Roth

Respostas:

8

Aqui está uma estimativa fácil. Aqui chamamos um conjunto SX e ε- rede de um espaço métrico X quando, para cada ponto xX , existe um ponto sS tal que a distância entre x e s é no máximo ε . Se você deseja uma desigualdade estrita na definição de ε -net, pode ajustar um pouco o valor de ε .

Afirma que || A || ≤ || A || Cn 2 || A || Where , onde || A || indica o entrywise max-norma de um n × n matriz Uma .

É fácil construir uma rede ε do espaço métrico ([0,1] N , d ) com tamanho ⌈1 / (2 ε ) ⌉ N , e não é difícil mostrar que esse tamanho é o mínimo. (Para mostrar a minimalidade, considere os pontos ⌈1 / (2 ε ) ⌉ N cujas coordenadas são múltiplos de 1 / ⌈1 / (2 ε ) −1⌉ e mostre que a distância entre dois desses pontos é maior que 2 ε .) Ao definir N = n 2 e combiná-lo com a comparação acima mencionada entre a norma de corte e a norma máxima, a cardinalidade mínima de um ε-net em relação à norma de corte é de pelo menos ⌈1 / (2 ε ) ⌉ n 2 e no máximo ⌈ n 2 / (2 ε ) ⌉ n 2 .


Atualização : Se meu cálculo estiver correto, um limite inferior melhor Ω ( n / ε ) n 2 pode ser obtido pelo argumento do volume. Para fazer isso, precisamos de um limite superior no volume de uma bola ε com relação à norma de corte.

Primeiro, consideramos a “norma de corte” de um único vetor, que é o máximo entre a soma dos elementos positivos e a soma negada dos elementos negativos. Não é difícil mostrar que o volume de uma bola ε em with n com relação a essa “norma de corte” é igual a

εnI{1,,n}1|I|!1(n|I|)!=εnr=0n(nr)1r!(nr)!

=εnn!r=0n(nr)2=εnn!(2nn)=(2n)!εn(n!)3.

Em seguida, uma vez que a norma corte de um n × n matriz A é maior do que ou igual à norma corte de cada linha, o volume de uma ε -ball em ℝ n × n é no máximo o n ° de energia do volume de um bola em ℝ n . Portanto, o tamanho de uma rede ε de [0,1] n × n deve ser pelo menos

(n!)3n(2n)!nεn2=(Ω(nε))n2,

onde a última igualdade é um cálculo chato no qual usamos a fórmula de Stirling : ln n ! = n ln n - n + O (log n ).

Tsuyoshi Ito
fonte
Em resposta à edição (revisão 4) da pergunta, o limite inferior indicado nesta resposta também é aplicável às redes ε "não apropriadas".
Tsuyoshi Ito 30/01
Parece correto, bem feito!
Hsien-Chih Chang
@ Hsien-Chih: Obrigado. A parte que mais gosto é o uso de coeficientes binomiais no cálculo do volume de uma bola ε em ℝ ^ n.
Tsuyoshi Ito 31/01
Suspeito que o limite inferior do tamanho da rede (equivalente ao limite superior do volume) possa ser melhorado. Eu fiz uma pergunta relacionada no MathOverflow.
Tsuyoshi Ito