Gráficos regulares e isomorfismo

Gostaria de perguntar se já existe um resultado publicado sobre isso:

Pegamos todos os caminhos diferentes possíveis entre cada par de nós de dois gráficos regulares conectados (com grau , digamos, e número de nós ) e anotamos seus comprimentos. Claro que esse número de caminhos distintos é exponencial. Minha pergunta é: se ordenarmos os comprimentos e compará-los (as listas obtidas pelos dois gráficos) e eles forem exatamente iguais, podemos dizer que os dois gráficos são isomórficos? $d$ $n$

Obviamente, mesmo que seja um resultado, não podemos usá-lo para responder ao isomorfismo do gráfico, pois o número de caminhos distintos é exponencial, como dito

Por caminhos distintos , refiro-me a caminhos com pelo menos um nó diferente, obviamente.

Obrigado a priori por sua ajuda.

graph-theory co.combinatorics graph-algorithms graph-isomorphism N27
fonte

em gráficos 2-regulares, há um número muito pequeno de caminhos diferentes, pois um gráfico 2-regular é uma união disjunta de ciclos. Portanto, você tem 2 ou 0 caminhos entre cada par de vértices.

Nathann Cohen

Esta questão, embora interessante, parece mais adequada para o MathOverflow para mim.

Niel de Beaudrap

Respostas:

Acredito que a resposta para sua pergunta seja "não" porque uma condição equivalente implicaria uma solução de tempo polinomial para a IG.

Para , a matriz de adjacência do gráfico , observe que o número de caminhos de até de comprimento é (com repetição de vértices e arestas permitidas). Para dois gráficos e (com matrizes de adjacência e ) e , se você classificou os elementos de e , em seguida, para $A$ $G$ $i$ $j$ $k$ $(A^k)_{i, j}$ $G_1$ $G_2$ $A_1$ $A_2$ $k \ge 1$ $A_1^k$ $A_2^k$ seja isomórfico a , é uma condição necessária que as listas sejam idênticas para todos os . $G_1$ $G_2$ $k$

Eu acredito que sua conjectura é equivalente a:

Se as listas ordenadas de elementos de e são idênticas para a (limite superior no caminho mais longo com vértices não repetidos), e são isomórficos. $A_1^k$ $A_2^d$ $k = 1$ $n - 1$ $G_1$ $G_2$

$n - 1$ $n \times n$ $n^2$ $n^4$

Admito duas possíveis falhas no meu argumento. Primeiro, é totalmente possível que o GI tenha um algoritmo de tempo polinomial e que acabamos de descobrir juntos, agora mesmo (viva, somos famosos!). Eu acho isso altamente improvável. Segundo (e muito mais provável), o que propus não é realmente equivalente à sua conjectura.

Pensamento final. Você já tentou isso para todos, digamos, gráficos 3-regulares para o tamanho 8 ou mais? Eu pensaria que, se sua conjectura é falsa, deve haver um contra-exemplo em gráficos tridimensionais de tamanho relativamente pequeno.

bbejot
fonte

(A^{k})_{i, j}

$(A^{k})_{i,j}$

@ N27: Pode ser comprovado usando a definição de multiplicação e indução de matrizes.

Tomek Tarczynski 28/04

Sim, facilmente, na verdade ...

N27

Ah, parece que mais uma vez minha intuição me desviou. Contar o número de caminhos simples distintos em um gráfico (ou mesmo apenas entre 2 nós) é # P-complete. Portanto, meu argumento está errado porque diz que um algoritmo de tempo polinomial é equivalente a contar caminhos simples. Agora também estou completamente insegura se sua conjectura está correta ou não. No entanto, é um pouco discutível, porque não é provável que você resolva um problema # P-complete sobre o IG.

bbejot 4/11

Como você está apenas comparando os comprimentos dos caminhos (e, enquanto isso, esquecendo a que par de nós eles correspondem se eu o entendi bem), acho que gráficos muito semelhantes devem fornecer um contra-exemplo: no final, você está apenas contando o número de caminhos de comprimento fixo e independentemente dos vértices que eles vinculam. Por exemplo, acho que esses gráficos são um contra-exemplo: http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/markus/REGGRAPHS/GIF/06_3_3-2.gif e http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/ markus / REGGRAPHS / GIF / 06_3_3-1.gif

Se não me engano (contar caminhos é tedioso), ambos têm 9 caminhos de comprimento 1, 18 caminhos de comprimento 2, 48 caminhos de comprimento 3, 30 caminhos de comprimento 4, 30 caminhos de comprimento 4 e 36 caminhos de comprimento 5

Arnaud
fonte

Eu conto 36 caminhos de comprimento 3 no primeiro gráfico e 30 gráficos de comprimento 3 no segundo gráfico. O problema é que o segundo gráfico possui ciclos de comprimento 3, enquanto o primeiro gráfico não. Ainda concordo, no entanto, que deve haver um gráfico relativamente pequeno como contra-exemplo. Ainda não encontrei um, no entanto.

bbejot 2/11/11

Concordo com você, escrever um programa testando todos os pequenos gráficos provavelmente daria uma resposta rápida.

Arnaud

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trg787
fonte

em todos esses gráficos lambda = mu

trg787 28/04

é o 3 pares mais simples (não-isomorfos)

trg787

o que é isso?!! e como você sabe que existe pelo menos um caminho diferente?

N27

Quero dizer, como você sabe que as listas de todos os caminhos possíveis entre cada par de nós são idênticas?

N27

De qualquer forma, desculpe, eu não entendo o que você testou ou está tentando dizer ... Minha pergunta era se as 2 listas de todos os comprimentos de caminhos distintos entre todos os pares de nós NÃO são iguais para 2 gráficos não isomórficos.

N27