funções de utilidade inversamente proporcionais

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Se eu tenho dois produtos $ x $ e $ y $ e dois usuários $ A $ e $ B $ cujas funções de utilidade para esses produtos $ u $ e $ w $ são inversamente proporcionais, seria correto expressar esse relacionamento como: $ u (x, y) = w ^ {- 1} (x, y) $? Obrigado.

microeconomics utility vabm
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Duas variáveis ​​$ p, q $ são inversamente proporcional se $ pq = K $, onde $ K $ é uma constante. Então se $ u $ e $ w $ são inversamente proporcionais se para qualquer par de produtos $ (x, y) $, $$ u (x, y) = \ frac {K} {w (x, y)} $$ por alguns $ K $ fixos.
Herr K.
Este é um relacionamento um pouco estranho. Isso significa que $ A $ não gosta de consumir as mercadorias que $ B $ gosta. É o que você tem em mente? Caso contrário, você poderia fornecer um pouco mais de contexto?
Oliv
@HerrK poderia por favor me explicar por que você precisa de $ pq $ para definir $ K $? Eu não sei muito sobre funções de utilidade, mas estou tentando me concentrar em apenas dois produtos $ xy $. Ou no seu exemplo $ K $ é uma constante de $ xy $?
vabm
@Oliv sim, esse é exatamente o tipo de relacionamento que estou procurando estabelecer. Por exemplo, se eu tenho dois produtos que podem ter cores diferentes, $ A $ não gosta exatamente do que $ B $ gosta e vice-versa. O $ w ^ {- 1} $ implica isso?
vabm
@vabm: Você pode pensar em $ p, q $ no meu caso como dois números de utilidade; por exemplo $ u (x, y) = p $ e $ w (x, y) = q $. Se $ p $ e $ q $ forem inversamente proporcionais, então $ p = K / q $, por cerca de $ K $. No seu caso, $ K = 1 $, mas poderia levar outros valores também.
Herr K.

Respostas:

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Convertendo meu comentário para uma resposta ...

Eu suponho que a expressão que você escreveu é quase correto, exceto talvez por uma questão de notação. Eu escreveria $ u (x, y) = [w (x, y)] ^ {- 1} $, porque $ w ^ {- 1} (x, y) $ é geralmente usado para denotar pré-imagem de $ w (x, y) $.

Mais geralmente, a proporcionalidade inversa entre $ u $ e $ w $ é definida até uma constante multiplicativa $ K $; ou seja, $ u (x, y) \ cdot w (x, y) = K $ para alguns $ K \ in \ mathbb R $. No caso acima, você assumiu implicitamente $ K = 1 $. Então, geralmente, você teria $$ u (x, y) = K [w (x, y)] ^ {- 1} = \ frac {K} {w (x, y)}. $$

Herr K.
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