Equações fundamentais em economia

Para as outras ciências, é fácil apontar para as equações mais importantes que fundamentam a disciplina. Se eu quero explicar a Economia a um físico, quais são as equações mais importantes que sustentam o assunto que eu deveria introduzir e tentar explicar?

Em vez de propor equações específicas, apontarei para dois conceitos que levam a equações específicas para configurações teóricas específicas:

A) Equilíbrio
O conceito mais fundamental e mais incompreendido em Economia. As pessoas olham em volta e vêem movimentos constantes - quão mais irrelevante pode ser um conceito do que "equilíbrio"? Portanto, o trabalho aqui é transmitir que a Economia modela a observação de que as coisas na maioria das vezes tendem a "se acalmar" - assim, ao caracterizar esse "ponto fixo", ele nos dá uma âncora para entender os movimentos externos e ao redor desse equilíbrio (que pode estar mudando de curso).

É não o caso que " a quantidade ofertada é igual a quantidade demandada " (aqui é uma equação fundamental)

mas é o caso que a oferta tende a igual demanda (de qualquer coisa ) por razões que qualquer economista deve ser capaz de apresentar de forma convincente a qualquer pessoa interessada em ouvir (e, no fundo, todas elas têm a ver com recursos finitos).

Além disso, ao determinar as condições de equilíbrio, podemos entender, quando observamos divergências, quais condições foram violadas.

B) Otimização marginal sob restrições
Em um ambiente estático , leva à equação de quantidades marginais / primeiras derivadas de funções.
Mercado de mercadorias: a receita marginal é igual ao custo marginal .
Mercado de insumos: produto de receita marginal é igual a recompensa marginal (aluguel, salário).
Etc. (deixei a "maximização da utilidade" fora de cena de propósito, porque, primeiro, aqui seria necessário apresentar o que esse "índice de utilidade" significa e como somos loucos ( não ), tentando modelar humanos " prazer "através do conceito de utilidade).

Talvez você possa cobrir tudo isso sob o guarda-chuva "benefício marginal igual custo marginal", como sugeriram outras perguntas:

Os economistas vivem em otimização marginal e a maioria considera isso evidente. Mas se você tentar explicá-lo a alguém de fora, há uma probabilidade respeitável de que ele se oponha ou permaneça não convencido; em vez disso, proponha "otimização média" como "mais realista", pois "as pessoas não calculam derivativos" (não argumentam que sim, apenas que seus processos de pensamento podem ser modelados como se fossem). Portanto, é preciso esclarecer sua história sobre otimização marginal, com exemplos convincentes e uma discussão sobre "por que não a otimização média".

Em um cenário intertemporal , leva ao trade-off descontado entre "o presente e o futuro", novamente "na margem" - começando com a "equação de Euler no consumo" , que em sua versão determinística discreta indica

$u'()$$0<\beta<1$$r_{t+1}$

( não consulte o artigo da wikipedia sobre a equação de consumo de Euler, o conceito por trás disso é muito mais aplicável e básico do que a aplicação específica discutida pelo artigo da wikipedia).

Curiosamente, embora a economia dinâmica seja mais exigente tecnicamente, acho isso mais intuitivamente atraente, pois as pessoas parecem entender muito melhor "o que você economiza hoje determinará o que consumirá amanhã", do que "sua taxa salarial será o produto marginal de receita de todos" trabalho empregado ".

EDIT: Esta equação é fundamental em termos da maneira como os economistas pensam. Conforme apontado nos comentários abaixo, em termos de equações fundamentais de modelos econômicos, as equações mais fundamentais descrevem equivalências entre os usos e suprimentos de itens (dinheiro, bens, etc.). Isso fornece a tensão do lado do custo marginal dessa equação.

Eu adicionaria equações relacionadas a estática comparativa:

• $$V^\prime(y)=f_y(x,y)$$
• $$\Delta p\Delta y-\Delta w\Delta x\geq0$$ $y$$x$$p$$w$
• Preferência revelada

Se podemos reivindicar teóricos dos jogos ou matemáticos cujas equações usamos constantemente:

• $$\nabla f(x^*) = \sum_{i=1}^m \mu_i \nabla g_i(x^*) + \sum_{j=1}^l \lambda_j \nabla h_j(x^*)$$ $$g_i(x^*) \le 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$h_j(x^*) = 0, \mbox{ for all } j = 1, \ldots, l \,\!$$ $$\mu_i \ge 0, \mbox{ for all } i = 1, \ldots, m$$ $$\mu_i g_i (x^*) = 0, \mbox{for all}\; i = 1,\ldots,m.$$
• $$\theta_{i}^\star = \arg \max_{\theta_i} u_i(\theta_i ,\theta_{-i}^\star)$$
• Princípio da revelação : o que ser justo não é tanto uma equação quanto um teorema ...
• Equação de Bellman $$V(x)=\max_{c\in\Omega(x)} U(x,z)+\beta\left[V(x^\prime)\right]$$

A maior parte da introdução à economia é de linhas que se cruzam. Especificamente,

Economia é sobre a lógica do comportamento humano, como tomamos decisões em um mundo de escassez. Essas equações descrevem a otimização restrita sob algumas suposições usuais, como continuidade, preferências convexas e nenhuma solução de canto. Eu também daria destaque à teoria do consumidor sobre o produtor. A maior parte da teoria do produtor de graduação pode ser entendida com as mesmas ferramentas usadas na teoria do consumidor.

Eu acho que uma das equações mais importantes (pelo menos dentro da macroeconomia) é:

Esta equação foi usada para derivar muitos resultados fundamentais. Essa equação motivou o limite entre Hansen e Jagannathan . É fundamental também para a precificação de ativos.

Além disso, algo interessante que vi uma vez de Tom Sargent. Se você usar o fator de desconto estocástico para um modelo padrão , dependendo de qual parte do Na equação que você permite que seja exógena, você pode obter alguns resultados fundamentais da macro:$m = \beta E_t \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

• Hipótese de renda permanente: Seja , obtemosc t = E [ c t + 1$\beta R = 1$$c_t = E [c_{t+1}]$
• Modelo de precificação de ativos da Lucas: permita que o processo de consumo seja um dado. Então o preço de um ativo pode ser descrito por$R_t^{-1} = p_t = E \left[ \frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \right]$

Uma vez ouvi Roger Myerson falar sobre por que ele pensava que a Economia, como Ciência Social, teve tanto sucesso em aplicar (ou incorporou tão facilmente) a matemática. Ele sugeriu que talvez fosse devido a algumas das linearidades fundamentais no mundo. Dois exemplos seriam as restrições de equilíbrio de fluxo de bens escassos (restrições de mercadorias) e condições de não arbitragem. Essas são restrições fundamentalmente lineares.

• É importante enfatizar a importância disso, porque podemos obter uma quantia surpreendente dos dois. Por exemplo, muitas pessoas pensam que a lei da demanda é uma conseqüência de assumir a racionalidade (especificamente, preferências que exibem uma taxa marginal de substituição decrescente). Um resultado devido a Gary Becker mostra que a lei da demanda (embora apenas uma versão um pouco mais fraca) pode ser derivada apenas da restrição orçamentária . (Ver Becker, 1962, " Comportamento irracional e teoria econômica ".) Ou seja, esse resultado econômico fundamental pode ser derivado da realidade de recursos escassos, isoladamente - sem assumir racionalidade.

• A condição de não arbitragem é uma aplicação do teorema da dualidade linear ( lema de Farkas ). Muita economia e finanças (precificação de ativos) podem ser feitas apenas com a suposição de que no equilíbrio econômico não há arbitragem.

Notas Extra:

Gary Becker fez muitos avanços no campo estudando como as restrições afetam o comportamento humano. Uma citação famosa, tirada de sua palestra sobre o prêmio Nobel, é a observação de que "restrições diferentes são decisivas para situações diferentes, mas a restrição mais fundamental é o tempo limitado". (Algumas discussões aqui .) Mais alguns recursos sobre como seu trabalho nesse sentido podem ser encontrados aqui e aqui .

A dualidade linear pode ser usada para descrever a condição de não arbitragem. De maneira mais geral, esse teorema é tipicamente provado com o Teorema da Separação de Hiperplano , que é uma ferramenta matemática que aparece muito nos livros de economia.

Além disso, lembre-se de que basta supor que, no equilíbrio econômico, não haja aproximadamente arbitragem.

Embora concorde com Jyotirmoy Bhattacharya de que as idéias mais interessantes em economia nem sempre são melhor expressas por meio de equações, ainda quero mencionar a lei Slutsky ou compensada da demanda da teoria do consumidor

onde são quaisquer dois vetores de preço, é qualquer nível de renda e é a função de demanda.$p',p \in \mathbb{R}_{++}^n$$w \in \mathbb{R}_+$$x(\cdot,\cdot) \in \mathbb{R}^n$

A relação subjacente é um par de ordens de certeza longe das equações fundamentais em outros campos. Além disso, não fundamenta a disciplina, no sentido de que não é usada com tanta frequência.

No entanto, costumo vê-lo como fundamental porque

• É uma consequência absolutamente não trivial de três suposições simples e fundamentais na teoria do consumidor, a saber:
  • Que a função de demanda é homogênea ao grau zero (sem ilusão de dinheiro)$x(\cdot,\cdot)$
  • Lei de Walras (as pessoas não queimam dinheiro)
  • O fraco axioma das preferências reveladas (se você escolher A quando B estiver disponível "hoje", você não escolherá B "amanhã" se A permanecer disponível)
• Portanto, testar a desigualdade é equivalente a testar essas três premissas em conjunto.
• As três premissas são usadas na grande maioria (talvez mais de 90%?) Dos modelos, incluindo os consumidores na teoria econômica.
• Sua validade (pelo menos como aproximações) é, portanto, crucial para a validade da maioria dos modelos na teoria econômica (pelo menos como aproximações).
• Embora nem sempre seja óbvio como relacionar as noções de preços, bens e renda a observáveis, todo o elemento da equação é observável em princípio (em oposição aos níveis de utilidade, por exemplo) e, portanto, a validade da desigualdade pode ser testada empiricamente. .

Acho que não existem equações econômicas com o mesmo status que, digamos, as equações de Maxwell na física. Em seu lugar, temos conceitos como o princípio equimarginal, equilíbrio competitivo ou equilíbrio de Nash, que estão no centro da "abordagem do economista". Mas acho que o valor real da economia não está nem nessas idéias, mas no que sabemos sobre problemas concretos em áreas específicas de aplicações: por exemplo, o que sabemos sobre os ciclos de negócios em macro. Nesta economia, pode ser mais como medicina do que física.

Para mim, um dos mais importantes é a restrição orçamentária. Pode parecer óbvio demais, mas muitos leigos (embora talvez não sejam físicos) não entendem!

$p⋅x \leq w$

Um pouco atrasado para o jogo, mas estou surpreso que ninguém tenha nomeado a equação para calcular as estimativas do OLS:

Embora não seja tão fundamental quanto, por exemplo, a equação de Slutsky, a condição no índice de Lerner de que uma empresa maximizadora de lucro com preço , custo e elasticidade da demanda da demanda tem é uma equação importante na organização industrial.$p$$c$$\eta$

Esta não é apenas uma formulação elegante da solução do problema da empresa, mas também é praticamente útil:

• Uma empresa que estima sua e sabe que pode usar essa fórmula para calcular o preço que maximiza o lucro.$\eta$$c$
• Um regulador que observa e calcula pode usar a fórmula para calcular importante em muitas formas de regulação.$p$$\eta$$c$

Já está escrito, mas a equação de Euler em tempo contínuo produz

onde é a elasticidade intertemporal da substituição, taxa de juros e é a taxa de desconto (nível de impaciência).$\sigma$$r$$\rho$

A base da economia intertemporal é a equação do valor presente líquido . Ou seja, o valor presente líquido de um fluxo de renda futuro é a renda anual dividida por um fator de desconto apropriado, com base na taxa de juros vigente, r, levada à enésima potência, onde n é o número de anos.

Bem, para a microeconomia, existem várias, porém todas seguem o mesmo padrão.

Aqui, tentarei ministrar um curso completo de microeconomia intermediária em um post.

A maioria dos problemas de microeconomia segue este formato:

Apesar de deixar de fora alguns detalhes menores, se você praticar microeconomia o suficiente, os problemas acabam parecendo os mesmos depois de um tempo. É isso que eu tenho que compartilhar.

Funções de produção / utilidade

Existem três tipos principais de funções de utilidade / produção às quais você será exposto em um curso intermediário de microeconomia ¹ . Eles são:

1. Cobb Douglas
   $$f(x_1,x_2)=x_1^ax_2^b$$
2. Leontif / complemento perfeito
   $$f(x_1,x_2)=\min\{x_1,x_2\}$$
3. Substitutos perfeitos $$f(x_1,x_2)=x_1+x_2$$

Linhas de orçamento e funções de custo

Na teoria do consumidor, você tem uma linha de orçamento representada pela fórmula:

Na teoria do produtor, chamamos isso de função de custo.

queremos maximizar o consumo com base em uma função de orçamento / custo ou minimizar os custos que mantêm seu nível de utilidade / produção constante. Para fazer isso, usamos outra equação:

O multiplicador lagrangiano:

Embora não seja exclusivo da ferramenta de economia, por exemplo, é a principal ferramenta de todos os estudantes de microeconomia intermediária.

onde é uma função de linha de orçamento / custo ou função de Utilidade / Produção quando for igual a zero.$H-g(x_1,x_2)$

Usamos isso para calcular utilitários / lucros maximizando pacotes / insumos de consumo ou Minimizar custos mantendo o lucro / utilidade constante.

E isso é um embrulho! *

_{* Embora exista o que dizer sobre demandas de marshallian e hicksian, deixarei isso para outros preencherem.}