Qual é o significado dos pesos em uma função de produção CES?

Em outro artigo, ofereço dois tipos de funções de produção CES

$y=\left[\left(1-\omega \right) x_{1}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}}+ \omega x_{2}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma -1}}$

ou

$y=\left[\left(1-\omega \right)^{\frac{1}{\sigma}} x_{1}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}}+ \omega^{\frac{1}{\sigma}} x_{2}^{\frac{\sigma -1}{\sigma}} \right]^{\frac{\sigma}{\sigma -1}}$

a única diferença são os expoentes dos pesos.

Qual é a diferença de significado e interpretação dos dois pesos (nos níveis intuitivo e teórico). Importa qual versão usar em um artigo?

Os pesos são geralmente chamados de "parâmetros de distribuição" (parte superior da página 12 do documento vinculado), pois correspondem, no caso de um Cobb-Douglas, a cada fator compartilhado na produção total. Por exemplo, se os dois fatores fossem trabalho e capital, respectivamente, seria a parcela do trabalho e seria a parcela do capital. Como no caso de Cobb-Douglas ( ) ambas as especificações são idênticas, os pesos referem-se aos parâmetros de distribuição nas duas especificações.$(1-\omega)$$\omega$$\sigma=1$

Para ver isso, pegue a segunda equação. Primeiro, defina o compartilhamento de na produção total como$x_1$

$$\lambda_1 \equiv \frac{w_1x_1}{py}$$

onde é o retorno real ao fator (por exemplo, salário real).$\frac{w_1}{p}$$x_1$

Sob condições competitivas, a (s) empresa (s) empregam até que seu produto marginal seja igual a . Este produto marginal é:$x_1$$\frac{w_1}{p}$

$$\frac{\partial y}{\partial x_1} = (1-\omega)^{\frac{1}{\sigma}}\left(\frac{y}{x_1}\right)^{\frac{1}{\sigma}} = \frac{w_1}{p}$$

Combinando a igualdade posterior com a definição do compartilhamento de fator, você obtém esse

$$\lambda_1 = (1-\omega)^{\frac{1}{\sigma}} \left(\frac{y}{x_1}\right)^{\frac{1-\sigma}{\sigma}}$$

No caso de um Cobb-Douglas ( ):$\sigma=1$

$$\lambda_1 = (1-\omega)$$

Equivalentemente,

$$\lambda_2 = \omega$$

o que significa que , de acordo com o pressuposto de retornos constantes de escala, nas duas especificações.$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$

Em relação à diferença entre os dois, de acordo com meus cálculos, a segunda especificação não abrange o caso Leontieff ( ). Isso ocorre porque, na primeira especificação, você pode resolver o limite de quando (usando o mínimo de , veja a equação (23) aqui ), você não pode fazer o mesmo com , porque o primeiro componente chega a zero (desde que a suposição padrão ).$\sigma = 0$$(1-\omega)x_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}$$\sigma \rightarrow 0$$x_i$$(1-\omega)^{\frac{1}{\sigma}}x_i^{\frac{\sigma-1}{\sigma}}$$0<\omega<1$

Portanto, se você quiser ser o mais geral possível, eu recomendaria a primeira especificação. Além disso, enquanto a primeira especificação é imo "muito comum", a segunda não, o que exigiria mais justificativas para o motivo da sua escolha. Se não houver nenhum benefício extra, então, pelo Navalha de Occam, o primeiro é definitivamente o preferido.