Função de pré-encomenda e multi-utilidades

Vamos $\succeq$ ser uma pré-venda, ou seja, é reflexiva e transitiva em $X$ . Provar que existe um conjunto de índices $N$ e uma função multi-utilidade $u:X \rightarrow \mathbb{R}^N$ tal que $x \succeq y$ se e somente se $[u(x)](n) > [u(y)](n)$ para todos $n \in N$ .

Sei, por exemplo, a relação $x \succeq y$ em $\mathbb{R}^2$ , se $x_1 \ge y_1$ e $x_2 \ge y_2$ pode ser representado com $N= \{1,2\}$ e a função de multi-utilitário definido por $u(x) = (x_1, x_2)$ . Mas não tenho certeza de como fazer a prova geral.

Parece uma pergunta interessante, mas não sei se entendi todos os detalhes aqui, então isso é mais um comentário do que uma resposta. Como a relação de preferência é incompleta, não podemos ter uma função de utilidade com valor real que a represente (lembre-se de que a indiferença é diferente da indecisão, porque a última não é transitiva).

Além disso, não acho que você possa ter um conjunto arbitrário junto com um arbitrário ⪰ sendo representado por um u de dimensão finita . Para dar um exemplo simples, suponha que X = [ 1 , p n ] com p n sendo o n - t h prime e suas preferências sejam x ⪰ y se x ≥ y e x , y ∈ ( p k , p k + 1$X$$\succeq$$u$$X=[1,p_n]$$p_n$$n-th$$x\succeq y$$x\geq y$$x,y\in(p_k,p_{k+1}]$por alguns . Existem n subconjuntos de alternativas, cada um com uma ordem de preferência bem definida, mas as alternativas não são comparáveis ​​entre os subconjuntos, de modo que você precisa de pelo menos f ( n ) (não tem certeza sobre as dimensões exatas f ) em sua função de utilitário com valor vetorial. Quando X = [ 1 , ∞ ) , o número de dimensões explode.$k<n$$n$$f(n)$$f$$X=[1,\infty)$

Um exemplo importante é o caso da escolha social. Suponha que você tenha indivíduos com preferências sobre X e deseja agregá-los. A fim de Pareto dá-lhe então u ( x ) = ( u i ( x ) ) para todos os i o (ordinal) utilidade do indivíduo i de alternativa x . De fato, se u i ( x ) > u i ( y ) para todo i , então u ( x ) $k$$X$$u(x)=(u_i(x))$$i$$i$$x$$u_i(x)>u_i(y)$$i$ .$u(x)>u(y)$

Finalmente, se era finito, em seguida, simplesmente por ordem dos elementos, de alguma forma x 1 , x 2 , . . , X k e construir u ∈ R k como se segue: u l ( x l ) = 1 , u l ( x k ) = 1 sse x l ⪰ x k e u l ( x k ) = 0 de outro modo.$X$$x^1,x^2,..,x^k$$u\in \mathbb R^k$$u_l(x^l)=1$$u_l(x^k)=1$$x^l\succeq x^k$$u_l(x^k)=0$

Para ver que isso representa as preferências, observe que se , u l ( x l ) = 1 > u l ( x l ′ ) , u l ′ ( x l ) = u l ′ ( x l ′) ) ; se x m ⪰ x l deve ser que x m ⪰ x l ′ para que$x^l\succeq x^{l'}$$u_l(x^l)=1>u_l(x^{l'})$$u_{l'}(x^l)=u_{l'}(x^{l'})$$x^m\succeq x^l$$x^m \succeq x^{l'}$ e vice-versa, mas se x l ⪰ x m ⪰ x l ' , então u m ( x l ) > u m ( x l ′ ) ; e se x m não é comparável a x l , não pode ser pior que x l ', de modo que u m ( x $u_m(x^l)=u_m(x^{l'})$$x^l\succeq x^m\succeq x^{l'}$$u_m(x^l)>u_m(x^{l'})$$x^m$$x^l$$x^{l'}$ , enquanto que se não for comparável a x l ' , não poderá ser melhor que x l .$u_m(x^l)=u_m(x^{l'})=0$$x^{l'}$$x^l$