Economia de troca pura com descarte livre e não livre

A pergunta é a seguinte:

Minhas respostas são

(EU)

Seja k um nível constante de utilidade

Então

$$k=\sqrt{x_A^1x_A^2}$$

$$k^2/x_A^1=x_A^2$$

A primeira derivada é negativa. Então a curva de indiferença está diminuindo. A segunda derivada é positiva.

Como a função utilidade é quase côncava, as preferências são convexas porque ele prefere médias a extremos.

Para B

similarmente

Para nível constante de utilidade k

$$k=x_B^1/(1+x_B^2)$$

Então

$$x_B^2=x_B^1/k-1$$

Esta é uma linha reta.

Devido à curva de indiferença linear, ele é indiferente entre médias e extremos. Portanto, não preferência estritamente convexa.

(II)

Para analisar se as preferências são não-estriadas e estritamente monotônicas, precisamos examinar suas MUs.

Para,

como os bons 1 e 2 podem diminuir a utilidade marginal, as preferências não são monotônicas. Mas as preferências não são saciadas.

Para B,

$x_B^1$$x_B^2$

(III)

Eu fiz as três primeiras partes dessa maneira. No entanto, não pude prosseguir nas três últimas partes que marquei com caneta vermelha. Por favor me ajude a fazer isso. Obrigado.

Considere uma economia de câmbio pura com dois participantes - A e B.

A função de utilidade de A é

$$\begin{eqnarray*} u_A = x_A^{\frac{1}{2}}y_A^{\frac{1}{2}}\end{eqnarray*}$$

A função de utilidade de B é

$$\begin{eqnarray*} u_B = \frac{x_B}{1 + y_B}\end{eqnarray*}$$

As doações de A e B são respectivamente

$$\begin{eqnarray*} \omega_A = (2,5), \ \omega_B =(5,2)\end{eqnarray*}$$

Encontre o conjunto de alocações eficientes de Pareto nesta economia.

$0$$Y$

$$\text{Pareto Set} = \left\{\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right) \in \mathbb{R}_+^2 \times \mathbb{R}_+^2 | x_A + x_B = y_A + y_B = 7, y_B = 0\right\}$$

$\left(\left(x_A^*, y_A^*\right), \left(x_B^*, y_B^*\right)\right)$

$\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)$$u_B(x_B, y_B) \geq u_B(5, 2) = \frac{5}{3}$

$$\begin{eqnarray*} \max_{\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)\in \mathbb{R}_+^2 \times \mathbb{R}_+^2} & \ x_A^\frac{1}{2}y_A^\frac{1}{2} \\ \text{s.t.} & \ x_A+ x_B = 7 \\ & \ y_A + y_B = 7 \\ & \ \frac{x_B}{1+y_B} \geq \frac{5}{3}\end{eqnarray*}$$

$\left(\left(x_A^*, y_A^*\right), \left(x_B^*, y_B^*\right)\right) = \left(\left(\frac{16}{3}, 7\right), \left(\frac{5}{3}, 0\right)\right)$

Suponha que agora haja descarte gratuito. Refaça a última parte, permitindo o descarte gratuito.

$\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)$$u_B(x_B, y_B) \geq u_B(5, 0) = 5$

$$\begin{eqnarray*} \max_{\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)\in \mathbb{R}_+^2 \times \mathbb{R}_+^2} & \ x_A^\frac{1}{2}y_A^\frac{1}{2} \\ \text{s.t.} & \ x_A+ x_B = 7 \\ & \ y_A + y_B = 7 \\ & \ x_B \geq 5\end{eqnarray*}$$

$\left(\left(x_A^*, y_A^*\right), \left(x_B^*, y_B^*\right)\right) = \left(\left(2, 7\right), \left(5, 0\right)\right)$

Encontre um equilíbrio competitivo (se existir) nos dois casos: (a) sem descarte livre, (b) descarte livre

$\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)$$(p_x, p_y = 1)$

• $x_A = \dfrac{2p_x + 5}{2p_x}$$y_A = \dfrac{2p_x + 5}{2}$
• $x_B = \dfrac{5p_x + 2}{p_x}$$y_B = 0$
• $x_A+x_B = 7$$y_A+y_B=7$

$p_x = \dfrac{9}{2}$$\left(\left(x_A, y_A\right), \left(x_B, y_B\right)\right)=\left(\left(\dfrac{14}{9}, 7\right), \left(\dfrac{49}{9}, 0\right)\right)$$(p_x, p_y) = \left(\dfrac{9}{2}, 1\right)$