Kőszegi - problema do modelo de Rabin (2006)

Primeiro de tudo, essa é uma pergunta lição de casa, e eu vai tentar torná-lo tão útil para futuros leitores quanto possível.

Problema

Então, foi-me dado um problema sobre o modelo descrito por Botond Kőszegi e Matthew Rabin em "Um Modelo de Preferência Dependente de Referência" em 2006:

Uma pessoa lida com dois bens: chá ( $c_1 \in \{0, 1\}$ ) e dinheiro ( $c_2 \in R$ ).

$$c_1 = \begin{cases}1, \mbox{if he buys tea}\\ 0, \mbox{if he does not buy tea} \end{cases}$$ Sua utilidade de consumo é dada por: $$m(c) = v \times c_1 + c_2$$ Sua utilidade de perda de ganho é dada por: $$n(x | r) = \begin{cases} (x - r), \mbox{if } x \ge r\\ \lambda \times (x - r), \mbox{if } x \lt r \end{cases}$$ Custo do chá$P_H = 30$; também, vamos$v = 13, \lambda = 4$.

Existem várias tarefas, mas estou com dificuldades mesmo com a primeira:

Prove que o ponto de referência $r = (c_1, c_2) = (1, -30)$ com probabilidade 1 é seu equilíbrio pessoal .

Não se esqueça que na utilidade de perda de ganho em caso de desvio das expectativas, a utilidade perdida deve ser considerada - como parece na utilidade de consumo.

Confusão 1 : O que a segunda sentença significa mesmo e como eu considero a utilidade perdida?

Minha tentativa

Primeiro de tudo, vamos definir o que estamos procurando. De acordo com a página 1143 do artigo:

Uma seleção $\{F_l \in D_l\}_{l \in R}$ é um equilíbrio pessoal (PE) se para todos $l \in R$ e $F'_l \in D_l$ $U(F_l | \int F_l dQ(l)) \ge U(F'_l | \int F_l dQ(l))$ .

Então, desde que a probabilidade seja 1, eu posso me livrar das integrais e provar que $U(r | r) \ge U(x | r) \forall x \ne r$ , ou, dado que existem apenas duas escolhas possíveis (certo? ), que $U((1, -30) | (1, -30)) \ge U((0, 0) | (1, -30))$ .

Confusão 2 : ele realmente tem apenas duas escolhas e é a segunda escolha $(0, 0)$ ?

Em seguida, calcule $U(r | r)$ . Conforme p. 1138 da mesma obra:

Assumimos que a utilidade geral tem dois componentes: $u(c|r) = m(c) + n(c|r)$ , onde $m(c)$ é "utilidade de consumo" tipicamente enfatizada em economia, e $n(c|r)$ é "utilitário de perda de ganho".

$$U(r | r) = U((1, -30) | (1, -30)) = m(1, -30) + n((1, -30) | (1, -30))$$

Conforme a mesma página:

Também assumimos que a utilidade de perda de ganho é separável: $n(c|r) = \sum_{k=1}^K n_k(c_k | r_k)$ .

Então eu posso fazer:

$$m(1, -30) = v \times 1 - 30 = 13 - 30 = -17\\ n((1, -30) | (1, -30)) = n(1 | 1) + n(-30 | -30) = (1 - 1) + (-30 + 30) = 0\\ \mbox{Thus, } U(r | r) = -17 + 0 = -17$$

Agora, para a segunda opção:

$$U((0, 0) | (1, -30)) = m(0, 0) + n((0, 0) | (1, -30)) = 0 + n(0 | 1) + n(0 | -30) = \lambda \times (0 - 1) + (0 + 30) = 30 - \lambda = 30 - 4 = 26\\ \mbox{Thus, } U(x | r) = 0 + 26 = 26$$

Confusão 3 : Então, eu tenho $U(r | r) \lt U(x | r)$ , que é exatamente o oposto do que eu preciso provar ...

ATUALIZAR

Estou sendo informado por um colega que um deve multiplicar a segunda parte do utilitário de perda de ganho por $v$ (!) Para obter:

$$n(x | r) = \begin{cases} (x - r), \mbox{if } x \ge r\\ v \times \lambda \times (x - r), \mbox{if } x \lt r \end{cases}$$

$U(x | r)$

$$U((0, 0) | (1, -30)) = \lambda \times v \times (0 - 1) + (0 + 30) = -22$$

$U((1, -30) | (1, -30))$

$v$

Questão

$v$

$c_1 \in \{0,1\}$$v=13$$c_2$$-p$$0$

$$n(c|r) = n_1(c_1|r_1) + n_2(c_2|r_2).$$

$\widehat r =(1,-30)$

$$U (\widehat r| \widehat r) \geq U ( c | \widehat r) \quad \forall c.$$

Isso leva à utilidade

$$U (\widehat r| \widehat r) = v * 1 - 30 + 0 = 13-30=-17.$$ $(1,30)$$(0,0)$$p$$v$ $$U ((0,0)| \widehat r) = v * 0 - 0 \:+ \quad \lambda(v*0-v*1) \:+ \quad (0-(-30)),$$ $\lambda$$v$ $$U ((0,0)| \widehat r) =30 - \lambda v = -22$$

$v$ é o valor do bem. Pense nessa configuração como utilitário de consumo separável

$$m (c) = m_1 (c_1) + m_2(c_2)$$ $m_1 (c_1) = v c_1$$v$$m_2 (c_2) = c_2$ $$n_i (c_i|r_i) = \mu [m_i (c_i) - m_i(r_i)]$$

$k^v =v b$$b$$c_1$$k^p=-bp$