Crescimento estocástico em tempo contínuo

Literatura: Veja Chang (1988) para a parte teórica e Achdou et al. (2015) para parte numérica, respectivamente.

Modelo

Considere o seguinte problema estocástico de crescimento ideal em notação per capita. tudo é padrão, exceto que é o incremento de um processo Wiener padrão, ou seja, . A taxa de crescimento populacional tem média e variância .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Solução Analítica

Presumimos que a tecnologia Cobb-Douglas

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

e utilitário CRRA

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Configure o Hamilton-Jacobi Equação de Bellman (HJB-e)

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

A condição de primeira ordem (FOC) lê

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ que

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ denota a função de política.

Substitua o FOC em HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Supomos que uma forma funcional de $v(k)$ com ( Posch (2009, eq. 41) )

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

onde $\Psi$ é alguma constante. A derivada de primeira e segunda ordem de $v$ é dada por

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

O HJB-e então lê

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

O HJB-e maximizado é verdadeiro se as seguintes condições forem mantidas:

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Substitua em que finalmente fornece a verdadeira função de valor $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Como é que não depende de ? $v$ $\sigma$

Portanto, a função de valor determinístico e estocástico deve ser a mesma. A função de política é prontamente fornecida por (use FOC e derivada da função de valor)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Observe que essa função também não depende de . $\sigma$

Aproximação Numérica

Eu resolvi o HJB-e por um esquema contra o vento. Tolerância a erros . Na figura abaixo, planto a função de política para variar . De , chego à solução verdadeira (roxo). Mas para a função política aproximada desvia da verdadeira. O que não deve ser o caso, uma vez que não depende de , certo? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Alguém pode confirmar que as funções políticas aproximadas devem ser as mesmas para qualquer , já que a verdadeira é independente de ? $\sigma$ $\sigma$

academic-graduate continuous-time optimal-control numerical-methods sem noção
fonte

O que me incomoda aqui é a primeira condição "iff" depois de escrever "o HJB-e maximizado é verdadeiro se as seguintes condições forem válidas": esta é uma relação de igualdade muito específica que deve ser mantida entre todos os parâmetros dos parâmetros de preferência do modelo , crescimento populacional, produtividade de capital e volatilidade. Eu me pergunto: podemos realmente trabalhar com funções adivinhadas cuja validade depende de uma condição tão estreita nos parâmetros?

Alecos Papadopoulos

Bem, aqui eu realmente conserto como uma função dos quatro parâmetros restantes. Portanto, a equação sempre é verdadeira se, além disso, é válido. Eu me pergunto: existe alguma regra quando adivinhar uma função não é permitido? Quero dizer, estamos interessados em encontrar a verdadeira solução e, sob algumas condições específicas, obtemos a verdadeira solução. Não sei o que te incomoda aqui do ponto de vista teórico. Claro, isso pode limitar o trabalho empírico, mas esse não é o ponto aqui. Estamos bastante interessados em resolver o HJBe e isso pode ser feito. Se um empirista (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

sem noção

estima e descobrimos que a condição é violada, então podemos rejeitar o modelo. No entanto, a solução permanece verdadeira em princípio. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

sem noção

Minha preocupação não é com validade empírica. O que me pergunto é: até que ponto o palpite específico sobre a forma funcional da função value depende dessa relação entre os parâmetros. Sem referência a dados empíricos, se assumirmos que a relação não se sustenta, o que então? Deveríamos adivinhar uma função de valor que nem é exponencial em , ou seria suficiente para manter a estrutura exponencial, mas tentaria maneiras diferentes de incluir os parâmetros nela? (a propósito, eu também estou olhando para a sua pergunta principal, uma vez que esta discussão é provavelmente periférica)

k

$k$

Alecos Papadopoulos

Tem certeza de que o problema de otimização está indicado corretamente? Não existe, por exemplo, expectativa operada, digamos, ? Como é afirmado agora, , portanto, provavelmente assumem qualquer valor, dado o processo de Wiener .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

Hans

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