O modelo de desastre raro de Barro (2009) no AER: como derivar a equação (10)?

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Em Barro (2009) Desastres raros, preços de ativos e custos de assistência social Barro desenvolve um modelo de árvore de Lucas com preferências de Epstein-Zin.

Minha pergunta diz respeito à equação do artigo (10). Nesta equação, Barro afirma que, sob a solução ótima, a utilidade Ut é proporcional ao consumo Ct atribuída à potência de 1γ , onde γ é o coeficiente de aversão ao risco relativo, ou seja,

Ut=ΦCt1γ

Enquanto entendo a lógica desse resultado, não entendo como ele deriva a constante Φ , que é mostrada na nota de rodapé 7 do documento mencionado:

Alberto Giovannini e Philippe Weil (1989, apêndice) mostram que, com a função de utilidade na equação (9), a utilidade atingido, Ut , é proporcional à riqueza elevado à potência 1γ . A forma da equação (10) seguinte, porque Ct é optimamente escolhida como uma proporção constante de riqueza no caso iid. A fórmula para Φ é, se γ1 θ1 ,

Φ=(11γ){ρ+(θ1)g(1/2)γ(θ1)σ2(θ1γ1)p[E(1b)1γ1(γ1)Eb]}(γ1)/(1θ)

Barro cita o artigo NBER de 1989 de Giovannini e Weil. Neste artigo, posso derivar a constante. No entanto, parece completamente diferente da versão de Barro, porque acabo com uma expressão que inclui , onde R t é o retorno sobre o patrimônio líquido. Acredito que Barro substituiu E [ R 1 - γ t ] pela solução de equilíbrio de R t . No entanto, sua expressão não inclui nenhum log ou expressão exp.E[Rt1γ]RtE[Rt1γ]Rt

Ficaria muito grato por uma solução ou por qualquer sugestão para a solução.

drcms02
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Isso parece ótimo! Obrigado pelo seu esforço. Levarei alguns dias para revisar as partes 2 e 3 da sua resposta, mas parece muito intuitivo.
drcms02

Respostas:

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Acho meio Barro na nota que Giovanni e Weil encontrar a mesma equação, , mas usando o caminho ideal de C t . No artigo de Barro, a abordagem é diferente, dado que a dinâmica de C t é exógena: C t = Y t por suposição.Ut=ΦC1γCtCtCt=Yt

Barro usa o caso limite quando a duração de um período se aproxima de 0. Talvez o que possa incomodar o leitor seja o fato de o modelo ser definido como discreto.

Reescreva o modelo

Primeiro, podemos reescrever o modelo com um período de período e, em seguida, usar δ 0 . A dinâmica do PIB escrever log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ com u t + δ ~ N ( 0 , δ σ 2 ) , e v t + δ =δδ0

log(Yt+δ)=log(Yt)+gδ+ut+δ+vt+δ
ut+δN(0,δσ2) com probabilidade 1 - p δ e log ( 1 - b ) com probabilidade p δ . O utilitário satisfaz U t = 1vt+δ=01pδlog(1b)pδ
Ut=11γ{Ct1θ+11+ρδ[(1γ)EtUt+δ]1θ1γ}1γ1θ.

1) Encontre em função de E t [ ( C t + δΦEt[(Ct+δCt)1γ]

A partir de agora, suponha que exista um tal que U t = Φ C 1 - γ (observe que Φ depende de δ a priori). Defina H ( U ) = [ ( 1 - γ ) U ] 1 - θΦUt=ΦC1γΦδ , a utilidade satisfaz H( U t )= C 1 - θ t + 1H(U)=[(1γ)U]1θ1γ SubstituímosUt: H(Φ)C 1 - θ t =C 1 - θ t +1

H(Ut)=Ct1θ+11+ρδH(EtUt+δ).
Ut Portanto, obtemos paraCt0, 1
H(Φ)Ct1θ=Ct1θ+11+ρδH(Φ)(Et[Ct+δ1γ])1θ1γ.
Ct0
1H(Φ)=111+ρδ(Et[(Ct+δCt)1γ])1θ1γ.

2) Encontre da dinâmica do PIBEt[(Ct+δCt)1γ]

O truque é encontrar a expectativa no lado direito da dinâmica do PIB. Tomando a expectativa e utilizando a independência entreut+1evt+1, segue-se

(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)ut+δ).exp((1γ)vt+δ).
ut+1vt+1 A expectativa deexp(X) emqueXsegueN(
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).Etexp((1γ)ut+δ).Etexp((1γ)vt+δ).
exp(X)X é exp ( σ 2 / 2 ) . exp ( ( 1 - γ ) v t + δ ) é uma variável aleatória igual a 1 com probabilidade 1 - p δ e ( 1 - b ) 1 - γ com probabilidade p δ . Substituímos o operador de expectativa: E t ( Y t + δN(0,σ2)exp(σ2/2)exp((1γ)vt+δ)11pδ(1b)1γpδ Finalmente, usamosCt=Ytpara calcular uma equação paraΦ: 1
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)2σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ).
Ct=YtΦ
1H(Φ)=111+ρδ{exp((1θ)gδ).exp((1γ)(1θ)σ2δ2).(1pδ+pE[(1b)1γ]δ)1θ1γ}.

δ0

1H(Φ)=1(1ρδ).(1+(1θ)gδ).(1+(1γ)(1θ)σ2δ2).(11θ1γpδ+1θ1γpE[(1b)1γ]δ).
δii>1
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
gg=g+σ22pEb
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ+(1θ)σ22δ(1θ)pEbδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
δ=1H
GuiWil
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