O modelo de desastre raro de Barro (2009) no AER: como derivar a equação (10)?

Em Barro (2009) Desastres raros, preços de ativos e custos de assistência social Barro desenvolve um modelo de árvore de Lucas com preferências de Epstein-Zin.

Minha pergunta diz respeito à equação do artigo (10). Nesta equação, Barro afirma que, sob a solução ótima, a utilidade $U_t$ é proporcional ao consumo $C_t$ atribuída à potência de $1-\gamma$ , onde $\gamma$ é o coeficiente de aversão ao risco relativo, ou seja,

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

Enquanto entendo a lógica desse resultado, não entendo como ele deriva a constante $\Phi$ , que é mostrada na nota de rodapé 7 do documento mencionado:

Alberto Giovannini e Philippe Weil (1989, apêndice) mostram que, com a função de utilidade na equação (9), a utilidade atingido, $U_t$ , é proporcional à riqueza elevado à potência $1-\gamma$ . A forma da equação (10) seguinte, porque $C_t$ é optimamente escolhida como uma proporção constante de riqueza no caso iid. A fórmula para $\Phi$ é, se $\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$ ,

$$\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$$

Barro cita o artigo NBER de 1989 de Giovannini e Weil. Neste artigo, posso derivar a constante. No entanto, parece completamente diferente da versão de Barro, porque acabo com uma expressão que inclui , onde R t é o retorno sobre o patrimônio líquido. Acredito que Barro substituiu E [ R 1 - γ t ] pela solução de equilíbrio de R t . No entanto, sua expressão não inclui nenhum log ou expressão exp.$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$

Ficaria muito grato por uma solução ou por qualquer sugestão para a solução.

Acho meio Barro na nota que Giovanni e Weil encontrar a mesma equação, , mas usando o caminho ideal de C t . No artigo de Barro, a abordagem é diferente, dado que a dinâmica de C t é exógena: C t = Y t por suposição.$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$C_t$$C_t$$C_t=Y_t$

Barro usa o caso limite quando a duração de um período se aproxima de 0. Talvez o que possa incomodar o leitor seja o fato de o modelo ser definido como discreto.

Reescreva o modelo

Primeiro, podemos reescrever o modelo com um período de período e, em seguida, usar δ → 0 . A dinâmica do PIB escrever log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ com u t + δ ~ N ( 0 , δ σ 2 ) , e v t + δ$\delta$$\delta\to 0$

$$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$$ $u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$ com probabilidade 1 - p δ e log ( 1 - b ) com probabilidade p δ . O utilitário satisfaz U t = $v_{t+\delta}=0$$1-p\delta$$\log(1-b)$$p\delta$ $$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$$

1) Encontre em função de E t [ ( C t + $\Phi$$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

A partir de agora, suponha que exista um tal que U t = Φ C 1 - γ (observe que Φ depende de δ a priori). Defina H ( U ) = [ ( 1 - γ ) U ] 1 - $\Phi$$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$\Phi$$\delta$ , a utilidade satisfaz H( U t )= C 1 - θ t +$H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$ SubstituímosUt: H(Φ)C 1 - θ t =C 1 - θ t +

$$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$$ $U_t$ Portanto, obtemos paraCt≠0, $$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$ $C_t\neq 0$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$

2) Encontre da dinâmica do PIB$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

O truque é encontrar a expectativa no lado direito da dinâmica do PIB. Tomando a expectativa e utilizando a independência entreut+1evt+1, segue-se

$$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $u_{t+1}$$v_{t+1}$ A expectativa deexp(X) emqueXsegueN $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $\exp(X)$$X$ é exp ( σ 2 / 2 ) . exp ( ( 1 - γ ) v t + δ ) é uma variável aleatória igual a 1 com probabilidade 1 - p δ e ( 1 - b ) 1 - γ com probabilidade p δ . Substituímos o operador de expectativa: E t ( Y t + $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\exp(\sigma^2/2)$$\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$$1$$1-p\delta$$(1-b)^{1-\gamma}$$p\delta$ Finalmente, usamosCt=Ytpara calcular uma equação paraΦ: $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $C_t=Y_t$$\Phi$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$$

$\delta\to 0$

$$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $\delta^i$$i>1$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $g$$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $\delta=1$$H$