Sobre as demandas marshallianas

Deixe um agente com função de utilidade $ U (x_1, x_2, x_3) = min \ {x_1, x_2 \} + x_3 $. Queremos maximizar $ U $ assunto para $ p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 = I $

Primeiro intuitivamente $ x_1 ^ * = x_2 ^ * $ substituindo a restrição orçamentária Eu tenho $$ x_1 ^ * = x_2 ^ * = \ frac {I-p_3 x_3} {p_1 + p_2} $$ Eu não sei como resolva por $ x_3 $. Então eu pensei em Kuhn-Tucker, mas não consigo ver como resolvê-lo.

Eu vou dar uma dica. Para aumentar / diminuir a utilidade em 1 unidade, você pode fazer duas coisas. Aumente $ x_1 $ e $ x_2 $ por $ \ frac {1} {2} $ unidades e isso custaria $ \ frac {p_1 + p_2} {2} $. A segunda opção é trocar $ x_3 $ por uma unidade que custaria $ p_3 $. Uma outra opção é, claro, usar uma combinação linear das mudanças acima. Se você se lembrar de funções de utilidade bem comportadas, você gostaria de comprar coisas para qual utilitário por preço é mais alto. Agora você iria para um raciocínio semelhante aqui e tentaria comprar utilidade extra a um preço mais barato.