Normalização alternativa para restrição triangular em vetores de cointegração

Johansen recomenda que os vetores de cointegração sejam normalizados para fins de inferência. Todos os pacotes de software usam a normalização triangular dos vetores de cointegração, ou seja, o bloco top $ r $ por $ r $ da matriz $ \ beta $ estimada é uma matriz de identidade. Geralmente, isso é obtido pela derivação da forma escalonada das equações estimadas de longo prazo (matriz de equações de cointegração).

Alguém sabe de alguma outra forma de normalização? ou métodos para formular diferentes normalizações? obrigado

A questão não é tanto a normalização quanto a identificação dos parâmetros dos vetores de co-integração. Os vetores de cointegração estimados definem o espaço de co-integração, mas muitos outros conjuntos de vetores abrangem esse mesmo espaço.

No caso em que você tem um único vetor de co-integração, a normalização é suficiente para identificação. Este não é o caso quando você tem mais de um vetor, caso em que você precisa impor restrições, o conjunto mais comum de restrições de identificação é a normalização triangular que você menciona.

Johansen (1995, seção 2, teorema 3) fornece um conjunto de condições algébricas que são bastante fáceis de calcular (mas tediosas para digitar) para verificar se um conjunto de restrições impostas aos vetores de co-integração está identificando.

Também é possível identificar os vetores de cointegração impondo restrições à matriz de ajuste ($ \ alpha $). este visão geral bastante recente por Johansen pode ser útil.

Referência: Johansen, Søren. "Identificando restrições de equações lineares com aplicações para equações simultâneas e cointegração." Journal of econometrics 69.1 (1995): 111-132.