Por que não usamos mapas octogonais em vez de mapas hexagonais?

Entendo a vantagem dos ladrilhos hexagonais sobre os quadrados. Mas por que os octógonos não são usados? Eu pensaria que eles proporcionariam um movimento melhor e mais natural em oito direções.

Eu estava pensando em usar esse tipo de mapa em algum jogo, mas não vi nenhum jogo usando isso, então me pergunto se perdi algo obviamente defeituoso em usá-lo?

Octogons:

Hexágonos:

As lacunas nos octogons são um mundo de jogo desagradável.

Normalmente, se você quiser permitir oito direções de movimento, use apenas quadrados.

Para resumir e elaborar o que foi dito em outras respostas e comentários, triângulos, quadrados e hexágonos são as únicas inclinações regulares matematicamente possíveis, também conhecidas como mosaicos regulares do plano euclidiano . Então sim, isso é péssimo. Os triângulos são completamente inúteis aqui, os quadrados são péssimos porque você não pode se mover na diagonal sem ter um fator um tanto pesado de 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480 ... mais ou menos; e hexágonos são ruins porque você não pode nem se mover reto nas duas direções. Não me entenda mal, eu ainda os prefiro a quadrados dentro dos limites da realidade de baixa qualidade que a matemática nos deixou com o Civ5 por finalmente mudar para grades hexagonais. Mas ainda assim, se fosse possível mosaico com octógonos, ninguém nunca daria uma olhada nos hexágonos.

Você poderia dizer "Bem, eu não me importo se houver lacunas. Eu apenas finjo que elas não estão lá". Você obteria o ladrilho quadrado truncado que é chamado de ladrilho quadrado, não porque existem pequenos espaços quadrados, mas porque esses octógonos são na verdade apenas quadrados glorificados em termos de ladrilhar o avião. Esses pequenos quadrados são o que resta de truncarnos cantos dos quadrados que realmente ladrilhavam o avião e, em termos de jogo, o motivo para não usar quadrados em primeiro lugar era ter uma distância igual para movimentos retos e diagonais e é isso que você não tem aqui. Os movimentos diagonais precisam preencher a mesma distância entre os centros dos ladrilhos, como fariam com os quadrados. Por outro lado, se você fingir que seu espaço digital mágico tinha buracos reais, é claro que você pode fazer isso, mas qual é a diferença de usar apenas azulejos quadrados e fazer movimentos diagonais tão caros quanto os retos?

Agora, tudo isso não seria tão ruim se houvesse realmente boas alternativas que não sejam euclidianas . Frequentemente, nossa grade está em algum tipo de planeta, então por que não usar uma geometria elíptica, isto é, a superfície de uma esfera? Infelizmente, as esferas são muito, muito piores quando se trata de inclinações regulares. Onde no avião você pode pelo menos usar tantos ou tão pequenos ladrilhos quanto desejar, nas esferas existem cinco arranjos, os sólidos platônicos. É isso aí. E apenas dois deles não usam triângulos. https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_polyhedra

No entanto, o plano hiperbólico realmente balança quando se trata de pavimentações. Não existem apenas três; de fato, há um número infinito de pavimentações regulares, incluindo uma octogonal .

O único problema é que o plano hiperbólico não é algo tão agradável quanto uma superfície plana ou uma esfera, mas basicamente a superfície de um Pringle . Você precisaria de um gancho de história para justificar um jogo em um Pringle;)

Ainda assim, a telha octagonal é tão elegante e os disco de Poincaré parece tão incrível que eu estou realmente surpreso que é quase nunca foi feito (antes que eu disse "nunca foi feito" aqui, mas então eu li MartianInvader 's comentário apontando para HyperRogue ).

Em termos de implementação, embora eu nunca tenha feito isso sozinho, deve ser bastante simples implementá-lo com as arquiteturas 3D de hoje, pois uma visão de disco de Poincaré pode ser construída colocando tudo na superfície de um hiperboloide e fazendo uma projeção em perspectiva (consulte Relação com o modelo hiperboloide ).

Só mais uma coisa para concluir isso, caso você pense em fazer um jogo espacial baseado em grade e ir para três dimensões, esperando que as coisas possam parecer mais agradáveis ​​por lá ... é melhor desistir. Você não precisaria apenas de um poliedro convexo regular com 14 faces que não existe , a única maneira de pavimentar o espaço euclidiano 3D com poliedros convexos regulares é com cubos. Booooring. No espaço hiperbólico, você pode pelo menos obter algo vagamente como o analogon de uma grade hexagonal em mosaico com dodecaedro (isto é, poliedros de 12 faces; isso é quase 14, certo?), Mas agora você está em um território total e ainda não conseguiu a contraparte de uma telha octogonal:

Bonito como o inferno? Oh meu Deus, sim! Eu entraria em pânico além da medida se naves espaciais alienígenas viessem atrás de mim e fosse esperado que eu reagisse de maneira sensata? Você pode apostar que sim. Esta é provavelmente a razão pela qual a maioria das pessoas usa cubos ou pilhas prismáticas hexagonais .

O autor do HyperRogue aqui.

O HyperRogue realmente usa um mosaico feito de hexágonos e heptágonos. Aqui está a razão pela qual esse mosaico específico foi escolhido, em vez de apenas octógonos ou heptágonos, por exemplo: Geometria hiperbólica no Rogue Hiperbólico Basicamente, os octógonos são grandes demais.

Além disso, algumas conseqüências do uso da geometria hiperbólica em um jogo (o que funciona em hiperbólico e não funciona em euclidiano e vice-versa) são listadas nesse post.

E sim, como Christian adivinhou, o HyperRogue usa internamente o modelo hiperboloide.

Não tenho permissão para comentar a resposta de Christian, mas há um mosaico do espaço 3D com poliedros de 14 faces: Favo de mel cúbico bitruncado (por que 14 faces, afinal?)

Basicamente, o que você deseja é um mosaico monohédico (ou lado a lado), que é uma cobertura de todo o plano (assumindo 2d) com uma única forma em que os ladrilhos não se sobrepõem nem deixam lacunas.

Existem muitas formas com as quais isso pode ser feito, mas quando introduzimos outras restrições, geralmente a orientação deve permanecer a mesma ou devem obedecer a uma direção natural do movimento, basicamente apenas permanecem quadrados e hexágonos.

Pegue o triângulo para exemplos (que você pode conhecer pelo mosaico de objetos 3D). Para preencher as lacunas entre dois triângulos, outro triângulo deve ser inserido, mas virado de cabeça para baixo. Obviamente, isso é um aborrecimento a ser gerado quando se lida com sprites, por exemplo, uma vez que uma conexão contínua é importante. Também movimento triangular é uma merda.

O mais natural, pelo menos no que diz respeito ao movimento, é o quadrado que passa a ser o mais frequentemente usado. Os hexágonos são a melhor coisa e permitem uma abordagem mais direta a um número maior de direções de movimento, ou seja, não sobre o movimento da esquina, como o movimento de 8 direções nos quadrados. Geralmente eles são usados ​​em jogos mais táticos, onde o aumento do movimento é importante.

De qualquer forma, se você quiser ler mais, dê uma olhada em http://euler.slu.edu/escher/index.php/Tessellations_by_Polygons .