Se todos os portões quânticos devem ser unitários, e a medição?

Todas as operações quânticas devem ser unitárias para permitir reversibilidade, mas e a medição? A medição pode ser representada como uma matriz, e essa matriz é aplicada a qubits, de modo que parece equivalente à operação de uma porta quântica. Definitivamente, isso não é reversível. Existem situações em que portões não unitários possam ser permitidos?

As operações unitárias são apenas um caso especial de operações quânticas , que são mapas lineares completamente positivos ("canais") que mapeiam operadores de densidade para operadores de densidade. Isto torna-se óbvio na Kraus-representação do canal,

No entanto, as portas quânticas são unitárias, porque são implementadas através da ação de um hamiltoniano por um tempo específico, o que fornece uma evolução de tempo unitária de acordo com a equação de Schrödinger.

Resposta curta

As operações quânticas não precisam ser unitárias. De fato, muitos algoritmos e protocolos quânticos fazem uso da não-unitariedade.

Resposta longa

As medições são, sem dúvida, o exemplo mais claro de transições não unitários, sendo um componente fundamental da algoritmos (no sentido de que uma "medição" é equivalente a amostragem a partir da distribuição de probabilidades obtida após a operação decoherence ).$\sum_k c_k\lvert k\rangle\mapsto\sum_k |c_k|^2\lvert k\rangle\langle k\rvert$

De maneira mais geral, qualquer algoritmo quântico que envolva etapas probabilísticas requer operações não unitárias. Um exemplo notável que vem à mente é o algoritmo do HHL09 para resolver sistemas lineares de equações (consulte 0811.3171 ). Um passo crucial nesse algoritmo é o mapeamento , onde | λ j ⟩ são vectores próprios de alguns operador. Esse mapeamento é necessariamente probabilístico e, portanto, não unitário.$|\lambda_j\rangle\mapsto C\lambda_j^{-1}|\lambda_j\rangle$$|\lambda_j\rangle$

Qualquer algoritmo ou protocolo que utilize feed-forward (clássico) também está fazendo uso de operações não unitárias. Esse é o conjunto de protocolos de computação quântica unidirecional (que, como o nome sugere, requerem operações não reversíveis).

Os esquemas mais notáveis ​​para computação quântica óptica com fótons únicos também requerem medições e algumas vezes pós-seleção para enredar os estados de fótons diferentes. Por exemplo, o protocolo KLM produz portas probabilísticas, que são, portanto, pelo menos parcialmente não reversíveis. Uma boa revisão sobre o tópico é quant-ph / 0512071 .

Exemplos menos intuitivos são fornecidos pela engenharia de estado quântico induzida por dissipação (por exemplo, 1402.0529 ou srep10656 ). Nesses protocolos, utiliza-se uma dinâmica dissipativa de mapa aberto e projeta a interação do estado com o ambiente, de modo que o estado estacionário de longa data do sistema seja o desejado.

Correndo o risco de sair do tópico da computação quântica e entrar na física, responderei o que considero uma subquestão relevante deste tópico e a utilizarei para informar a discussão de portas unitárias na computação quântica.

A questão aqui é: por que queremos unitariedade em portões quânticos?

A resposta menos específica é a acima, ela nos dá 'reversibilidade' ou, como os físicos costumam falar sobre ela, um tipo de simetria para o sistema. Eu estou fazendo um curso de mecânica quântica agora, ea maneira portões unitários surgiram naquele curso foi motivada pelo desejo de ter transformações físicas U : que atuam como simetrias. Este impôs duas condições para a transformação U :$\hat{U}$$\hat{U}$

1. As transformações devem atuar linearmente no estado (é isso que nos dá uma representação matricial).
2. As transformações devem preservar a probabilidade, ou mais especificamente o produto interno . Isso significa que se definirmos:

Preservação do meio produtos internos que . A partir desta segunda especificação, a unitariedade pode ser derivada (para obter detalhes completos, consulte as notas do Dr. van Raamsdonk aqui ).$\langle \phi | | \psi \rangle= \langle \phi' | | \psi'\rangle$

Portanto, isso responde à pergunta de por que as operações que mantêm as coisas "reversíveis" precisam ser unitárias.

A questão de por que a medida em si não é unitária está mais relacionada à computação quântica. Uma medida é uma projeção em uma base; em essência, deve "responder" com um ou mais estados básicos como o próprio estado. Ele também deixa o estado de maneira consistente com a "resposta" para a medição e não consistente com as probabilidades subjacentes com as quais o estado começou. Portanto, a operação atende à especificação 1. de nossa transformação , mas definitivamente não atende à especificação 2. Nem todas as matrizes são criadas da mesma forma!$U$

Para arredondar as coisas de volta à computação quântica, o fato de as medições serem destrutivas e projetivas (ou seja, só podemos reconstruir a superposição através de medições repetidas de estados idênticos, e todas as medições nos dão apenas uma resposta 0/1) faz parte do que faz a separação entre a computação quântica e a computação regular é sutil (e parte do motivo de ser difícil identificá-la). Pode-se supor que a computação quântica é mais poderosa por causa do mero tamanho do espaço de Hilbert, com todas essas superposições de estado disponíveis para nós. Mas nossa capacidade de extrair essas informações é fortemente limitada.

Pelo que entendi, isso mostra que, para fins de armazenamento de informações, um qubit é apenas tão bom quanto um bit regular e não é melhor. Mas podemos ser inteligentes na computação quântica com a maneira como as informações são trocadas, por causa da estrutura algébrica linear subjacente.

Existem vários conceitos errados aqui, a maioria deles se origina da exposição apenas ao formalismo de estado puro da mecânica quântica, então vamos abordá-los um por um:

1. Todas as operações quânticas devem ser unitárias para permitir reversibilidade, mas e a medição?

Isto é falso. Em geral, os estados de um sistema quântico não são apenas vetores em um espaço Hilbert mas matrizes de densidade - operadores semidefinidos positivos de rastreamento unitário, atuando no espaço H de Hilbert , isto é, ρ : H → H , T r ( ρ ) = 1 , e ρ ≥ 0 (Observe que os vetores de estado puro não são vetores no espaço de Hilbert, mas irradiam em um espaço projetivo complexo ; para um qubit, isso equivale ao espaço de Hilbert sendo C P 1 e não C$\mathcal{H}$ $-$$\mathcal{H}$$\rho: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$$Tr(\rho) = 1$$\rho \geq 0$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}^2$) Matrizes de densidade são usadas para descrever um conjunto estatístico de estados quânticos.

A matriz de densidade é chamada pura se e misturada se ρ 2 < ρ . Uma vez que estamos lidando com uma matriz de densidade de estado puro (ou seja, não há incerteza estatística envolvida), uma vez que ρ 2 = ρ , a matriz de densidade é realmente um operador de projeção e é possível encontrar um | ip ⟩ ∈ H tal que ρ = | ip ⟩ ⟨ ip | .$\rho^2 = \rho$$\rho^2 < \rho$$\rho^2 = \rho$$|\psi\rangle \in \mathcal{H}$$\rho = |\psi\rangle \langle\psi|$

A operação quântico mais geral é um mapa CP-(mapa completamente positivo), ou seja, de modo a que Φ ( ρ ) = Σ i K i ρ K † i ; Σ i K † i K i  I (se Σ i K † i K i = I , em seguida, estes são chamados CPTP (completamente positivo e -traço preservando ) ou um mapa$\Phi: L(\mathcal{H}) \rightarrow L(\mathcal{H})$

Agora, chegando à alegação do OP de que todas as operações quânticas são unitárias para permitir reversibilidade - isso simplesmente não é verdade. A unitariedade do operador de evolução no tempo ( ) na mecânica quântica (para a evolução quântica de sistemas fechados) é simplesmente uma consequência da equação de Schrödinger.$e^{-iHt/\hbar}$

Entretanto, quando consideramos matrizes de densidade, a evolução mais geral é um mapa de CP (ou CPTP para um sistema fechado para preservar o rastreio e, portanto, a probabilidade).

2. Existem situações em que portões não unitários possam ser permitidos?

Sim. Um exemplo importante que vem à mente são os sistemas quânticos abertos, onde os operadores Kraus (que não são unitários) são os "portões" com os quais o sistema evolui.

$\sum_i K_i^\dagger K_i = \mathbb{I}$$i$$K^\dagger K = \mathbb{I}$$K$$\rho \rightarrow U \rho U^\dagger$

Chegando ao ponto final:

3. A medição pode ser representada como uma matriz, e essa matriz é aplicada a qubits, de modo que parece equivalente à operação de uma porta quântica. Definitivamente, isso não é reversível.

$-$$-$$|\phi\rangle \langle\phi|$$|\psi\rangle$$|\langle\phi|\psi\rangle|^2$$|\phi\rangle$

$\{M_{i}\}$$\mathcal{H}$$\sum _{{i=1}}^{n}M_{i}=\mathbb{I}$

$\text{Tr}(E_i \rho E_i^\dagger) =: p_i$$M_i$$\rho \rightarrow E_i \rho E_i^\dagger$$p_i$

Edit 1: Você também pode estar interessado Teorema da dilatação de Stinespring, que fornece um isomorfismo entre um mapa CPTP e uma operação unitária em um espaço maior de Hilbert, seguido pelo rastreamento parcial do espaço (tensionado) de Hilbert (consulte 1 , 2 ).

Vou adicionar um pouco complementando as outras respostas, apenas sobre a ideia de medição.

A medição é geralmente tomada como um postulado da mecânica quântica. Geralmente existem alguns postulados anteriores sobre espaços de Hilbert, mas depois disso

• $A$$\hat{A}$$\mathcal{H}$
• $A$$\psi$$a_n$ $$\frac{\hat{P}_n|\psi\rangle}{\|\hat{P}_n|\psi\rangle\|},$$ $\hat{P}_n$$a_n$

$\hat{P}^\dagger=\hat{P}$$\hat{P}^2=\hat{P}$$1$$0$$\hat{P}_n$$1,0$$a_n$$|\psi\rangle$

As medições também são operações unitárias, você simplesmente não vê: uma medição é equivalente a alguma operação complicada (quântica) que atua não apenas no sistema, mas também em seu ambiente. Se alguém modelasse tudo como um sistema quântico (incluindo o meio ambiente), teria operações unitárias por todo o caminho.

No entanto, geralmente há pouco sentido nisso, porque geralmente não sabemos a ação exata sobre o meio ambiente e normalmente não nos importamos. Se considerarmos apenas o sistema, o resultado é o conhecido colapso da função de onda, que é de fato uma operação não unitária.

Os estados quânticos podem mudar de duas maneiras: 1. quantumly , 2. classicamente .

1. Todas as mudanças de estado que ocorrem quantitativamente são unitárias. Todos os portões quânticos, erros quânticos etc. são mudanças quânticas .

2. Não há obrigação de as alterações clássicas serem unitárias, por exemplo, a medição é uma mudança clássica .

Mais uma razão, porque se diz que o estado quântico é "perturbado" quando é medido.