Como posso derivar um limite para as oscilações espúrias na solução numérica da equação de advecção 1D?

Suponha que eu tenha o seguinte problema periódico de advecção 1D:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ in onde g (x) tem uma descontinuidade de salto em x ^ * \ in (0,1) . $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
$g(x)$$x^*\in (0,1)$

Entendo que, para esquemas lineares de diferenças finitas de mais alta ordem do que a primeira ordem, ocorram oscilações espúrias próximas à descontinuidade, à medida que são avançando ao longo do tempo, resultando em uma distorção da solução em relação à sua forma de onda esperada. De acordo com a explicação da Wikipedia , parece que essas oscilações ocorrem tipicamente quando uma função descontínua é aproximada com uma série finita de fourier.

Por alguma razão, não consigo entender como uma série finita de fourier pode ser observada na solução desse PDE. Em particular, como posso estimar um limite no "over-shoot" analiticamente?

O método contra o vento de primeira ordem é monótono; não introduz oscilações espúrias. Mas é apenas preciso de primeira ordem, resultando em tanta difusão numérica que é inutilizável para muitos propósitos. O Teorema de Godunov afirma que discretizações espaciais lineares de ordem superior à primeira ordem não podem ser monótonas. Para controlar rigorosamente as oscilações, usamos esquemas de redução total da variação (TVD) . Os métodos de TVD são tipicamente limitados à precisão de segunda ordem. Para uma ordem superior, precisamos relaxar nossa solicitação, levando a métodos de Variação Total Limitada (TVB), como (Não ponderado) Essencial Não Oscilatório ((W) ENO), ou devemos relaxar a definição de TVD para "preservação de princípio máximo" ou similar, onde os extremos iniciais são em termos de uma solução reconstruída inicial, resultando emregimes especiais de limitação .

A discretização linear de diferenças finitas de um problema 1D com limites periódicos leva a uma discretização da forma

onde é uma matriz circulante . Os vetores próprios de qualquer matriz circulante são modos Fourier discretos (aqui é o espaçamento da grade e é o número de onda, que varia de zero até o número de onda mais alto representável na grade). Esses vetores próprios formam uma base para todas as funções que podem ser representadas na grade. Se você expressa a solução em termos desses modos discretos de Fourier, o método numérico é diagonalizado, ou seja, cada componente de Fourier é multiplicado por um fator escalar (geralmente complexo) em cada etapa. O fator escalar é freqüentemente chamado de fator de amplificação, e o que acabei de descrever é conhecido como análise de von Neumannv j = exp ( i j h ξ ) $L$

Você pode encontrar boas explicações, por exemplo, no texto de Strikwerda ou LeVeque .

Nem todas as oscilações espúrias são fenômenos de Gibbs. Eles parecem semelhantes, mas existem oscilações de Gibbs para todas as aproximações finitas de Fourier de funções descontínuas (elas ficam menores à medida que você adiciona mais termos). Visto que existem representações não-oscilatórias de funções descontínuas resultantes da solução de aproximações de diferenças finitas para PDEs que não requerem séries infinitas;

O banho ( teste Inf – sup de métodos a favor do vento , PDF) contém um artigo sobre métodos de elementos finitos (convecção-difusão, IIRC) em 1-D que envolve o cálculo da constante para a condição - e relaciona-o a oscilações . Você pode obter uma visão disso.$\inf$$\sup$

Quanto à sua última pergunta sobre a conexão entre séries finitas de Fourier e aproximação de elementos finitos: Em geral, se você tentar projetar uma função com um salto em um espaço dimensional finito cujas funções básicas são contínuas, você obtém o fenômeno de Gibbs. Isso é verdade se a base for uma série finita de Fourier (onde as funções da base são os senos e os cossenos) ou se a base forem as funções usuais comuns dos elementos finitos - é uma propriedade da projeção mais a inadequação das funções da base.

Uma abordagem é através da equação equivalente, ou seja, a equação diferencial à qual o seu método discreto fornece a aproximação mais próxima. Esta nunca é a equação diferencial que você pretendia resolver. Então você olha para a solução assintótica da equação equivalente, para uma etapa funcionar como dados iniciais. Veja Bouche, D., Bonnaud, G. e Ramos, D., 2003. Comparação de esquemas numéricos para resolver a equação de advecção. Letras de matemática aplicada, 16 (2), pp.147-154.