Convergência assintótica da solução a um pde parabólico à solução de um pde elíptico

Suponha que eu tenha o sistema parabólico com condições de contorno de Dirichlet e condição inicial

$$u_t=\nabla\cdot(k(x)\nabla u)+f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$$ $$u=g, \quad x\in\partial\Omega$$ $$u(x,t)= h,\quad t=0.$$

Muitas vezes, na engenharia, estamos mais interessados ​​no comportamento assintótico (estado estacionário) desse PDE do que no comportamento transitório. Então, às vezes negligenciar o tempo o termo derivado e resolver o sistema elíptica vez. A suposição é que, em um tempo infinito, .lim t → ∞ u p a r a b o l i c ( x , t ) = u e l l i p t i c ( x , t

$$-\nabla\cdot(k(x)\nabla u)=f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$$ $$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}(x,t)$$

Observei que quando $f\equiv 0$ , esse limite é verdadeiro, mas não tenho certeza se esse é o caso de f arbitrário $f$ou se existem outras condições necessárias para garantir que esse limite seja verdadeiro. As condições de contorno precisam convergir assintoticamente para um valor constante para que a solução parabólica converja para a solução elíptica?

Embora minha pergunta seja formulada no caso contínuo, também estou curioso para saber se as mesmas condições são verdadeiras para o caso discreto. Ou seja, supondo que eu use um esquema de diferenças finitas estável e consistente para aproximar e , devo esperar se e são discretizados na mesma grade espacial e ?$u_{\mathrm{parabolic}}$$u_{\mathrm{elliptic}}$

$$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}(x,t)$$ $u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}$$u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}$$\Delta t\rightarrow\infty$

Sim, com as condições de contorno de Dirichlet, você sempre tem convergência exponencial para o estado intermediário. Qualquer livro PDE terá uma prova. Para uma boa explicação de uma perspectiva numérica, consulte o capítulo 2 do livro FDM de LeVeque.