Onde posso encontrar uma boa referência para as propriedades de estabilidade de vários métodos de resolução de EDPs parabólicas?

No momento, tenho um código que usa o algoritmo Crank-Nicholson, mas acho que gostaria de passar para um algoritmo de ordem superior para escalonamento de tempo. Sei que o algoritmo Crank-Nicholson é estável no domínio em que quero trabalhar, mas estou preocupado que alguns outros algoritmos possam não ser.

Eu sei como calcular a região de estabilidade de um algoritmo, mas pode ser uma dor. Alguém conhece alguma boa referência para as propriedades de estabilidade de um grande número de algoritmos de escalonamento temporal para PDEs parabólicas?

Meu favorito pessoal é o livro de John Strikwerda, "Esquemas de diferenças finitas e equações diferenciais parciais" .

Ele tem um tratamento muito bom da teoria da estabilidade usando a análise de Fourier. Eu só tenho a primeira edição, onde ele não apresenta a idéia de uma região de estabilidade. Segundo o site do SIAM, a segunda edição adicionou este material.

Resposta muito curta: para uma referência abrangente, você não pode vencer o Hairer e Wanner volume II .

Resposta curta: Aqui estão alguns scripts do MATLAB para plotar a região de estabilidade de um passo linear múltiplo ou do método Runge-Kutta , dados os coeficientes. Você também pode usar o pacote Python nodepy (aviso: é o meu pacote e não é o software mais sofisticado, mas plotar regiões de estabilidade é algo que faz muito bem). As instruções para traçar regiões de estabilidade estão aqui .

Resposta mais longa: existem três classes de métodos nas quais você poderia estar interessado aqui.

• $A$Métodos estáveis , onde toda a metade esquerda do plano complexo fica na região de estabilidade. Os exemplos mais conhecidos são Euler reverso (1ª ordem) e o método trapezoidal implícito (que é o que Crank-Nicholson usa). Para esses métodos, você não precisa conhecer os detalhes da região de estabilidade; contanto que os valores próprios de sua discretização espacial estejam no semiplano esquerdo, você terá estabilidade incondicional (sem restrição de tamanho de etapa). Devido à segunda barreira de Dahlquist , você deve usar os métodos Runge-Kutta se desejar alta ordem e$A$-estabilidade. Alguns exemplos de tais métodos são os métodos de Gauss-Legendre, Radau e Lobatto. Tudo isso é totalmente implícito e, portanto, bastante caro.

• $A(\alpha)$Métodos estáveis , que incluem um setor no semiplano esquerdo , incluindo todo o eixo real negativo. Os mais proeminentes são os métodos de diferenciação reversa (BDF) e uma variante conhecida como "fórmulas de diferenciação numérica", implementadas nos MATLABs ode15s(). Eles são incondicionalmente estáveis, desde que os autovalores de sua discretização espacial estejam nesse setor; portanto, a única coisa que você precisa saber sobre a região de estabilidade é o ângulo , que pode ser encontrado em qualquer referência em solucionadores de ODE (por exemplo, 175 de LeVeque ).$\alpha$

• Métodos explícitos , que serão necessários incluem apenas um intervalo finito no eixo real negativo. Existem métodos explícitos "estabilizados" especiais (em particular, os métodos de Runge-Kutta-Chebyshev ) que possuem grandes regiões negativas de estabilidade do eixo real e são adequados para problemas levemente rígidos, mas geralmente não para problemas parabólicos. Uma boa entrada para essa literatura é este artigo , que inclui muitas informações sobre as regiões de estabilidade.

Eu assumi que você só está interessado em estabilidade absoluta. Para problemas parabólicos, você provavelmente também desejaria um método estável em , mas é simples verificar a estabilidade em de um método.$L$$L$

Atualização : se você realmente precisa saber tudo sobre esse tópico, obtenha uma cópia da monografia de Dekker e Verwer . Ele tem uma das melhores introduções existentes para conceitos como constantes de Lipschitz unilaterais, a norma logarítmica e vários conceitos mais profundos de estabilidade. Está esgotado, mas geralmente é possível encontrar cópias usadas na Amazon (por um preço!)