Esquema do tipo Lax-Wendroff de ordem superior?

Suponha que desejamos resolver uma lei de conservação hiperbólica . Eu realmente gosto de usar Lax-Wendroff, que lê $u_t+f(u)_x=0$

$u_j^{n+1} = u_j^n -\frac{\Delta t}{\Delta x}(g(u_{j+1}^n,u_j^n)-g(u_j^n,u_{j-1}^n))$

Onde

$g(v,w) = \frac12(f(v)+f(w)) - \frac{\Delta t}{2\Delta x}\vert\frac{f(w)-f(v)}{w-v}\vert^2(w-v)$

ou para (advecção linear), $f(u)=au$

$g(v,w)=\frac12a((v+w)-\frac{\Delta t}{\Delta x}a(w-v))$ .

Minha pergunta: Existe algo semelhante que tenha uma ordem superior? Eu não estou falando sobre esses esquemas sofisticados de alta resolução, (W) ENO, MUSCL, ... - apenas um esquema estável de terceira ou quarta ordem estável que funciona para arbitrárias . $f$

fluid-dynamics hyperbolic-pde Anke
fonte

Semelhante de que maneira? E que coisas "sofisticadas" desqualificam uma resposta?

David Ketcheson

Semelhante em propriedades. Você precisa do segundo termo na definição de porque o primeiro sozinho, que também é de segunda ordem, produz um esquema instável. (W) ENO, MUSCL, ... todos têm mais alguns truques para lidar com descontinuidades, como limitadores de fluxo. Eu queria saber se existem planos simples de terceira ou quarta ordem, como Lax-Wendroff. Gibbs estará lá, é claro, mas deve ser estável. produz um esquema de quarta ordem, mas não é estável.

g

$g$

g (v_{0}, \dots, v_{3}) = \frac{7}{12} (f (v_{1}) + f (v_{2})) - \frac{1}{12} (f (v_{0}) + f (v_{3}))

$g(v_0,\dots,v_3) = \frac{7}{12}(f(v_1)+f(v_2)) - \frac{1}{12}(f(v_0) + f(v_3))$

Anke20

Respostas:

Existem muitos esquemas de ordem superior por aí. Mas, de acordo com o teorema de Godunov , apenas o esquema de primeira ordem pode ser monótono e, portanto, não criar oscilações. Este recurso fornece uma breve idéia sobre a construção e análise de esquemas de diferenças finitas.

No algoritmo REA (Reconstruir, Evoluir, Média), o polinômio de ordem necessário é reconstruído e os valores variáveis correspondentes são interpolados na face da célula. Isso fornece os fluxos nas faces da célula. (É o mesmo que para a face para o esquema acima mencionado, no qual uma linha reta é reconstruída a partir das médias das células). $g(u_{j+{1}},u_{j})$ $j + \frac{1}{2}$

Em seguida, os valores das células são atualizados usando esses fluxos.

O livro de Leveque "Métodos de volume finito para problemas hiperbólicos" fornece informações detalhadas sobre isso. Dependendo da sua escolha de estêncil, você pode criar um esquema de ordem arbitrariamente alta. Mas sempre haverá oscilações próximas à descontinuidade, se for um esquema de alta ordem.

Outras fontes de esquemas de alta ordem são,

1) Esquemas de DRP (este artigo também discute a formulação de esquemas padrão de DF de alta ordem arbitrária)

2) Métodos de Galerkin descontínuos / contínuos (estes podem ter uma ordem de precisão arbitrariamente alta, mas a reconstrução diferentemente da FVM, ocorre dentro de um elemento. Os valores médios das células não são usados para reconstrução)

3) Métodos espectrais

Alguns recursos para os shcemes numéricos,

1) "Métodos de volume finito para problemas hiperbólicos", Randall Leveque

2) "Gasdinâmica computacional", Culbert Laney (discute muito bem ENO, MUSCL)

3) "Solvers Riemann e métodos numéricos para dinâmica de fluidos", EFToro

Subodh
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Obrigado pelo recurso, parece uma referência extensa. Quanto ao resto de sua resposta: estou ciente das dificuldades com descontinuidades. Ainda assim, minha pergunta foi explicitamente sobre métodos do tipo Lax-Wendroff. Lax-Wendroff é estável, FTCS, por exemplo, não é. Claro, você tem oscilações, mas ainda assim, estou interessado nesse tipo de método.

Anke