Pedido de referência: Análise rigorosa de algoritmos para PDE e ODE

Estou interessado em sugestões de referências de livros sobre o assunto da EDP numérica e ODE, em particular, uma análise rigorosa de tais métodos de uma maneira escrita por matemáticos profissionais. Ele não precisa ser extremamente abrangente no sentido de listar centenas ou milhares de métodos diferentes, mas eu estaria interessado em algo que pelo menos cubra a maioria dos conceitos-chave que orientam as técnicas modernas.

Eu acho que seria apropriado fazer analogias com livros didáticos sobre álgebra linear numérica, sobre os quais eu estou mais familiarizado. Estou procurando algo que seja para erros de estabilidade e truncamento em equações diferenciais numéricas, pois a Precisão e Estabilidade de Algoritmos Numéricos de Higham é para erros de estabilidade e arredondamento em álgebra linear numérica e algo que discuta técnicas modernas em ODE e PDE da maneira que Golub e Matrix Computations, de Van Loan, discute a maioria dos principais tipos de técnicas de álgebra linear.

Na verdade, eu sei muito pouco sobre ODE e PDE numéricos. Eu tenho lido algumas anotações on-line e tenho o livro Métodos de diferença finita para equações diferenciais ordinárias e parciais de Randall LeVeque, que é um livro claro, mas não profundo o suficiente para meus propósitos. Como um exemplo mais concreto do nível que estou procurando, espero que qualquer seção sobre equações elípticas e parabólicas presuma que o leitor tenha total familiaridade com a teoria dos espaços de Sobolev e seus embeddings, além de soluções fracas para o PDE, e use resultados a partir dessa teoria livremente na derivação de estimativas de erro para elementos finitos, etc.

Você não encontrará uma referência que abranja sistematicamente a análise de todos os métodos importantes para o PDE. O campo das técnicas de discretização para PDE é pelo menos uma ordem de magnitude maior que o tópico mencionado acima. Para qualquer método que envolva soluções implícitas, estudar discretizações sem considerar também os métodos de solução (por exemplo, métodos multigrid associados) é uma maneira comprovada e verdadeira de se colocar no canto "irremediavelmente impraticável".

Presumivelmente, você está familiarizado com Brenner e Scott, A teoria matemática dos métodos de elementos finitos . É um texto de nível de pós-graduação e, embora tenha sua parte na matéria introdutória, você pode obter rapidamente resultados importantes.

Para uma análise de erro a posteriori no MEF, uma boa fonte é o artigo de revisão, Ainsworth e Oden, Uma estimativa de erro a posteriori na análise de elementos finitos , 1997 .

Para métodos de volume finito, você pode gostar do artigo da Acta Numerica Morton e Sonar, Métodos de volume finito para leis de conservação hiperbólica , 2007 . Como os artigos da Acta Numerica vão, isso não é muito citado. Suspeito que isso seja em parte porque o livro de LeVeque é muito bom e porque a maioria dos praticantes que não o usaram está familiarizada com muitas das fontes originais. Embora eu não esteja familiarizado com isso, você também pode olhar para Bouchut, estabilidade não-linear de métodos de volume finito para leis de conservação hiperbólica .

Em segundo lugar, defendo o argumento de Jed sobre a importância de considerar solucionadores ao mesmo tempo que discretizações. Isso é algo que os matemáticos "mais puros" às vezes deixam de fazer, em detrimento deles, pois estão resolvendo o problema errado . Coisas como a estrutura de blocos, o padrão de escassez e a capacidade de construir pré-condicionadores tendem a ser muito mais importantes do que coisas simples, como número de graus de liberdade / tamanho da malha.

Brezzi & Fortin - "Métodos de elementos finitos mistos e híbridos" abrange material complementar a Brenner e Scott. No entanto, está esgotado e as pessoas realmente se apegam às suas cópias; portanto, se você não quiser pagar várias centenas de dólares, provavelmente precisará emprestá-lo da sua biblioteca.

A série de artigos de Rannacher et al., No início dos anos 2000, como "Uma abordagem de controle ideal para uma estimativa de erro posterior em métodos de elementos finitos" fornece uma compreensão mais profunda e mais amplamente aplicável de uma estimativa de erro posteriori do que o explicado em Ainsworth e Oden. livro (na minha opinião).

Os espaços sobolev não são os espaços funcionais completos para PDE, embora você possa ter essa impressão lendo livros introdutórios de graduação, como Evans. Os espaços Besov são mais gerais e bastante agradáveis, e forçam você a pensar sobre como e por que certos espaços funcionais são construídos controlando os blocos de construção básicos para fornecer restrições à oscilação, integrabilidade e estrutura de múltiplas escalas. Um bom artigo "filosófico" sobre o tema de espaços funcionais é amplamente o post de Terry Tao aqui . O livro de Triebel (principalmente sobre os espaços de Besov), "Theory of Function Spaces II" , é ótimo! Há uma conexão profunda entre os espaços e as wavelets de Besov, portanto, o artigo muito legível de DeVore sobre as wavelets é útil.

Além das ótimas recomendações de Jed (posso pessoalmente garantir Brenner + Scott como um ótimo livro de introdução de elementos finitos), Butcher: um excelente livro para a solução numérica de ODEs:

http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

Essa foi a minha bíblia por um bom tempo, até que minha biblioteca da universidade o lembrasse.

Além disso, você pode achar que Ern + Guermond é um livro valioso, se você já se sente confortável com a matemática delicada

http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC

Depois de ler alguns artigos de Ern + Guermond, posso dizer que eles definitivamente se inclinam para um formalismo pesado. Os capítulos são um módulo mais ou menos independente, uma notação que talvez você precise alternar para obter a definição.

Para PDEs, um livro com um sabor analítico-funcional semelhante ao de Ern e Guermond é D. Braess, Finite Elements , Cambridge University Press, 2007 . Sendo um livro didático e não uma monografia de pesquisa, é mais acessível, embora menos abrangente. Por outro lado, também discute aplicações (principalmente em elasticidade).

Com relação às ODEs, acredito que a Bíblia ainda é o trabalho em três volumes de Hairer e Wanner ( Resolvendo ODEs I , Resolvendo ODEs I e Resolvendo ODEs II e Integração Numérica Geométrica ).

Por fim, não deixe de ver as excelentes notas de aula disponíveis na internet.