Como derivar a formulação fraca de uma equação diferencial parcial para o método de elementos finitos?

Fiz uma introdução básica ao Método dos Elementos Finitos, que não enfatizava uma compreensão sofisticada de uma "formulação fraca". Entendo que, com o método galerkin, multiplicamos ambos os lados do PDE (elíptico) por uma função de teste e depois integramos (por partes ou pelo teorema da divergência). Às vezes, eu precisava integrar as partes duas vezes antes de chegar à formulação fraca apropriada (com base na resposta na parte de trás do livro). Mas quando tento aplicar o mesmo conceito a outros PDE (digamos, eles ainda são independentes do tempo), não consigo reconhecer quando a formulação é apropriada para discretização. Existe alguma 'bandeira vermelha' que possa me dizer que ESTE FORMULÁRIO pode ser discretizado em um sistema linear de equações?

Além disso, como escolho um conjunto apropriado de funções básicas?

Pergunte a si mesmo o seguinte:

Primeiro, como a integração por partes afeta a resolubilidade do problema e o espaço das soluções?

Segundo, para qual espaço de funções você pode construir uma série de subespaços (as funções ansatz) que você pode implementar?

f ∈ L 2 [ 0 , 1 ] G 2 & Phi; ∈ L $u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

φ ↦ ∫ f φ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ e$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Como qualquer função em pode ser aproximada de por funções suaves com suporte compacto, os dois funcionais integrais são completamente conhecidos se você souber apenas os valores para todas as funções de teste. Mas com as funções de teste, você pode realizar a integração por partes e transformar o lado esquerdo no funcionalL $L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Leia isto como: "Pego uma função de teste , calculo seu diferencial e integro-o com -u 'sobre [0,1] e retorno o resultado." Mas esse funcional não está definido e delimitado em , pois você não pode obter o diferencial de uma função arbitrária de . Eles podem parecer extremamente estranhos em geral.G 2 G $\phi$$L^2$$L^2$

Ainda observamos que essa funcionalidade pode ser estendida ao espaço Sobolev , e é ainda uma funcionalidade limitada em . Isso significa que, dado , você pode estimar aproximadamente o valor de por um múltiplo da -norma de . Além disso, o é, obviamente, não apenas definido e delimitado em , mas também definido e delimitado em .$H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

Agora você pode, por exemplo, aplicar o lema Lax-Milgram, conforme apresentado em qualquer livro do PDE. Um livro de elementos finitos que o descreve também, apenas com análise funcional, é, por exemplo, o clássico de Ciarlet ou o livro novo de Braess.

O lema de Lax-Milgram oferece às pessoas do PDE uma boa ferramenta para análises puras, mas elas também empregam ferramentas muito mais estranhas para o seu propósito. Ainda assim, essas ferramentas também são relevantes para análises numéricas, porque na verdade você pode criar uma discretização para esses espaços.

Por exemplo, para ter um subespaço discreto de , basta usar as funções de chapéu. Eles não têm saltos e são diferenciáveis ​​por partes. Seu diferencial é um campo vetorial constante por partes. Essa construção funciona em , o que é bom, mas você pode criar um espaço ansatz cujas funções não apenas tenham um gradiente (isso é legal, ou seja, quadrado-integrável), mas também cujos gradientes, por sua vez, divergem? (novamente, quadrado integrável). Isso é muito difícil em geral.$H_0^1$$d=1,2,3,...$

Portanto, a razão geral de como você cria formulações fracas é que deseja aplicar o lema de Lax-Milgram e ter uma formulação para que as funções possam ser implementadas. (Para o registro, Lax-Milgram não é a última palavra nesse contexto, nem ansatz coloca a última palavra em discretização, veja, por exemplo, métodos descontínuos de Galerkin.)$H_0^1$

Para o caso de condições de contorno mistas, o espaço de teste natural pode diferir do seu espaço de pesquisa (no cenário analítico), mas não tenho idéia de como descrevê-lo sem me referir à teoria da distribuição, então paro aqui. Espero que isto seja útil.