Papel das condições de contorno (por exemplo, periódicas) na equação de Poisson

Dada a equação de Poisson 3D e o lado direito e o domínio, sou livre para impor quaisquer condições de contorno (BC) à função , ou eles precisam ser de alguma forma consistentes com o lado direito? Em particular, se eu impor BC periódico, haverá exatamente uma solução para qualquer lado direito?

$$\nabla^2 \phi(x, y, z) = f(x, y, z)$$ $\phi$

Por exemplo, deixe: e resolvo em uma caixa . Agora qualquer solução deve ser uma soma de que: porque e é qualquer função harmônica (por exemplo, ). Corrigir?

$$f(x, y, z) = - 3 \pi^{2} \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}$$ $(0, 1)\times (0, 1) \times (0, 1)$$\phi_0+\phi_1$ $$\phi_0(x, y, z) = \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}\,,$$ $\nabla^2\phi_0 = f$$\phi_1$$\nabla^2\phi_1 = 0$

Se eu impor zero o Dirichlet BC, então é a única solução, porque satisfaz o BC, satisfaz a equação e a solução deve ser única. Corrigir?$\phi_0$

E se eu impor BC periódico? Isso significa que haverá alguma função harmônica tal que satisfaça o BC periódico e resolva a equação? O que é isso explicitamente neste caso?$\phi_1$$\phi_0+\phi_1$$\phi_1$

De uma perspectiva numérica, talvez seja mais fácil discutir as discretizações diretamente.

Para a equação de Poisson com condições de contorno homogêneas de Dirichlet, existe uma solução exclusiva para qualquer lado direito. Uma vez discretizada, a equação pode ser escrita na forma , onde é a discretização padrão do operador 3D Laplaciano com limite de Dirichlet é uma discretização padrão de . Como é definitivo positivo, é invertível e o sistema terá uma solução única para qualquer e, portanto, qualquer .$Ax = b$$A$$b$$f$$A$$b$$f$

Obviamente, existem problemas comuns com a subamostragem; se dois valores diferentes de dão origem à mesma discretização devido ao uso de uma grade grossa ou devido a descontinuidades em , pode haver alguma ambiguidade sobre qual sistema está realmente sendo resolvido. Mas, desde que a discretização de seja bem-comportada, uma solução única e significativa existirá.$f$$f$$f$

A situação é um pouco mais complicada no caso de condições de contorno periódicas porque a discretização padrão do operador 3D Laplaciano com limite periódico é semidefinida positiva e possui um núcleo unidimensional compreende soluções da forma com constante$K$$x \equiv C$$C$

Como ainda é simétrico no caso periódico, temos o e, portanto, não terá uma solução, a menos que , onde é o vetor que consiste em todos os 1s. Isso fornece a condição de consistência para o lado direito de forma discreta.$A$$\operatorname{Range} A = K^\perp$$Ax = b$$\mathbf{1} \cdot b = 0$$\mathbf{1}$

Observe que, analiticamente, existe uma maneira um pouco mais simples de ver isso. Lembre-se de que, para , onde é o nosso domínio, temos Se estipularmos uma condição de limite periódica em , o termo no lado direito desaparecerá e ficaremos com Portanto, se satisfaz , segue-se imediatamente que devemos ter Este é o analógico analítico de$\phi \in C^2(\Omega)$$\Omega$

$$\int_\Omega \Delta \phi \, dx = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}}\, dS.$$ $\phi$ϕ Δ ϕ = f ∫ Ω $$\int_\Omega \Delta\phi\, dx = 0.$$ $\phi$$\Delta \phi = f$1 ⋅ b = 0 f $$\int_\Omega f\, dx = 0.$$ $\mathbf{1} \cdot b = 0$, pois ambos estão expressando o fato de que o valor médio de e, portanto , , sobre o domínio deve ser zero.$f$$b$

Eu sei que faz 2 anos .. mas aqui está um exemplo da física para martelá-lo em casa. Considere que você está resolvendo a equação de Poisson: para potenciais eletrostáticos (ϕ) com o lado direito: E ρ (a densidade de carga) é especificada em toda a grade pontos.

$$\nabla^2\phi =f$$ $$f=(-ρ/εo)$$

Instrução: Para solução periódica, a condição ∫ρdv = 0 (descrita por Ben acima) define o sistema como neutro em rede. Essa é uma boa maneira (física) de pensar no valor médio de f na caixa periódica.

Agora vamos testar esta afirmação. Para condições de contorno periódicas, a integral do campo Elétrico deve ser zero sobre a superfície da caixa (você sempre pode encontrar pares de pontos na superfície da caixa cancelando-se na integral).

Então, pelo teorema da divergência (lei de Gauss), a caixa deve ser neutra e é isso que nos propusemos a provar.

$$\oint_S {E_n dA = \frac{1}{{\varepsilon _0 }}} Q_{inside} =0$$

Um pouco de física aqui, mas acho que fornece um bom reforço para a discussão aqui.

Precisa ter cuidado especificamente na geração de método de soluções manufaturadas para a equação de Poisson. Como a definição do termo de origem deve satisfazer a forma forte do PDE, bem como a forma fraca do PDE. A derivação dada acima é basicamente usando a forma fraca do PDE. Em outras palavras, existe uma relação entre o gradiente da solução na fronteira e o termo de origem integral no domínio.