O Ideal LPF BIBO é instável?

Em uma das outras discussões: Como encontrar resposta em frequência, estabilidade e causalidade de um sistema linear?

Encontrei um comentário bastante forte e definitivamente chamou minha atenção.

Um filtro passa-baixas ideal é um exemplo de sistema que não é estável na BIBO, embora sua resposta de frequência seja limitada a todos $f$

Estou seguindo a definição de estabilidade conforme aqui no wiki http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability

Alguém pode me dar uma prova de que o LPF ideal pode realmente ser instável da BIBO?

Obviamente, o LPF ideal com ganho infinito pode produzir uma saída ilimitada. A questão é restrita ao LPF quando o ganho é finito.

Esta resposta é uma resposta a um comentário do OP sobre a resposta do yoda.

Suponha que $h(t)$, a resposta ao impulso de um sistema invariante no tempo linear em tempo contínuo, tem a propriedade de

$$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt = M$$ para algum número finito $M$. Então, para cada entrada limitada$x(t)$, a saída $y(t)$também é limitado. E se$|x(t)| \leq \hat{M}$ para todos $t$ Onde $\hat{M}$ é algum número finito, então $|y(t)| \leq \hat{M}M$ para todos $t$ Onde $\hat{M}M$também é um número finito. A prova é direta. $$\begin{align*} |y(t)| &= \left |\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t - \tau)\mathrm d\tau\right |\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\cdot|x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \hat{M}\int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \hat{M}M. \end{align*}$$ Em outras palavras, $y(t)$ é limitado sempre $x(t)$ é limitado.

Assim, a condição $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$ é suficiente para a estabilidade da BIBO.

A condição $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$ também é necessário para a estabilidade da BIBO.

Suponha que toda entrada limitada produz uma saída limitada. Agora considere a entrada $x(t) = \text{sgn}(h(-t)) ~\forall~ t$. Isso está claramente delimitado ($|x(t)| \leq 1$ para todos $t$) e em $t=0$, produz saída

$$\begin{align*} y(0) &= \int_{-\infty}^\infty h(0-\tau)x(-\tau)\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty h(-\tau)\text{sgn}(h(-\tau))\mathrm d\tau &= \int_{-\infty}^\infty |h(-\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt. \end{align*}$$ Nossa suposição de que o sistema é estável na BIBO significa que $y(0)$ é necessariamente finito, ou seja, $$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$$

A prova para sistemas de tempo discreto é semelhante à mudança óbvia de que todas as integrais são substituídas por somas.

Os LPFs ideais não são sistemas estáveis ​​em BIBO porque a resposta ao impulso não é absolutamente integrável, como indicado na resposta do yoda. Mas a resposta dele realmente não responde à pergunta

Alguém pode me dar uma prova de que o LPF ideal pode realmente ser instável da BIBO?

Um exemplo específico de um sinal de entrada limitado que produz uma saída ilimitada a partir de um LPF ideal (e, portanto, prova que o sistema não é estável no BIBO) pode ser construído conforme descrito acima (veja também meu comentário sobre a questão principal).

Uma condição necessária para a estabilidade da BIBO é a existência do $L^1$ norma (ou $\ell^1$norma para sistemas discretos) da resposta ao impulso. No artigo wiki que você citou,

Para um sistema de tempo contínuo e invariável por tempo linear (LTI), a condição para a estabilidade da BIBO é que a resposta ao impulso seja absolutamente integrável, ou seja, exista sua norma L1.

$$\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\ dt=\Vert h(t)\Vert_1<\infty$$

A resposta ao impulso de um LPF ideal é a $\text{sinc}$ função, que possui apenas o $L^2$ norma e não o $L^1$norma. Em outras palavras,$\text{sinc}(t)$não é absolutamente aceitável ou

$$\int_{-\infty}^\infty |\text{sinc}(t)|\ dt=\infty$$

Portanto, um LPF ideal não é estável na BIBO, apesar de sua resposta de frequência estar limitada a todos $f$.

A transformação de Fourier do lpf ideal é uma função sinc no domínio do tempo, que existe de -infinito a + infinito, portanto não é causal e a área dentro dele é infinita e ilimitada. ..