Derivando a transformada de Fourier de cosseno e seno

Em esta resposta, Jim Clay escreve:

... use o fato de que $\mathcal F\{\cos(x)\} = \frac{\delta(w - 1) + \delta(w + 1)}{2}$ ...

A expressão acima não é muito diferente de $\mathcal F\{{\cos(2\pi f_0t)\}=\frac{1}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))}$.

Eu tenho tentado obter a expressão posterior usando a definição padrão da transformada de Fourier $X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$ mas tudo que acabo com é uma expressão tão diferente da que aparentemente é a resposta.

Aqui está o meu trabalho:

$$\begin{align} x(t)&=\cos(2\pi f_0t)\\ \Longrightarrow \mathcal F\left\{x(t)\right\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(2\pi f_0t)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac 12 \left(e^{-j2\pi f_0t}+e^{j2\pi f_0t}\right)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}+e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t\left(f_0+f\right)}+e^{-j2\pi t\left(f-f_0\right)}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f_0+f)}\right)dt+\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f-f_0)}\right)\right) dt \end{align}$$

É aqui que estou preso.

Seu trabalho está bom, exceto pelo problema que a transformação de Fourier de $\cos(2\pi f_0 t)$não existe no sentido usual de uma função de$f$, e temos que estender a noção para incluir as chamadas distribuições, impulsos ou deltas de Dirac, ou (como costumamos fazer os engenheiros, muito para desgosto dos matemáticos) funções de delta . Leia sobre as condições que devem ser satisfeitas para a transformação de Fourier$X(f)$ do sinal $x(t)$ existir (no sentido usual) e você verá que $\cos(2\pi f_0 t)$ não possui uma transformada de Fourier no sentido usual.

Voltando à sua pergunta específica, depois de entender que os impulsos são definidos apenas em termos de como eles se comportam como integrandos em uma integral, ou seja, por $a < x_0 < b$,

$$\int_{a}^{b} \delta(x-x_0)g(x)\,\mathrm dx = g(x_0)$$ providenciou que $g(x)$ é contínuo em $x_0$, é mais fácil deduzir a transformação de Fourier de $$\cos(2\pi f_0 t) = \left.\left.\frac{1}{2}\right[e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}\right]$$ meditando sobre o fato de que $$\int_{-\infty}^\infty \delta(f-f_0)e^{j2\pi ft}\,\mathrm df = e^{j2\pi f_0t}$$ e assim deve ser isso $\cos(2\pi f_0 t)$é a transformação inversa de Fourier de$\displaystyle \left.\left.\frac{1}{2}\right[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right]$.

Em seguida, basta usar uma tabela de pares de transformada de Fourier para ver que$\delta(t) \leftrightarrow 1$e substituição de variável ($f_1 = f+f_0$ e $f_2 = f-f_0$), para obter o que você precisa.