Existe uma maneira de obter a resposta de impulso de um sistema discreto apenas sabendo que é resposta à função de etapa de unidade discreta?

Em tempo contínuo foi possível;

$$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$$

O mesmo se aplica ao sistema de tempo discreto, por exemplo,

$$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$$

Existe uma maneira de obter a resposta de impulso de um sistema discreto apenas conhecendo a resposta da etapa da unidade discreta?

Uma versão mais simples da resposta de Phonon é a seguinte.

Suponha que denota a resposta do sistema à função de etapa da unidade. Então, como discutido nesta resposta , em geral, é a soma das cópias em escala e com atraso de tempo da resposta ao impulso e, nesse caso em particular, nenhuma escala é necessária; apenas atrasos. Assim, onde cada um coluna à direita é uma resposta a impulsos (sem escala e) com atraso no tempo. Assim, obtemos facilmente que y y [ 0 $y$ $y$h [ 0

$$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$ $$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$$ com nenhuma menção a filtros, inversos, convoluções, integração, operadores e similares, apenas simples conseqüências da definição de sistema linear invariante no tempo.

$D(\cdot)$$y[n] = x[n] - x[n-1]$$d[n]$$*$

$u[n]$$\delta[n]$$u[n]$$u[n] * d[n] = \delta[n]$

$$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$$

$$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$$

$$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$$

$x[n]$$\left(u[n] * x[n]\right)$

Premissas:

• $h(t)$$s(t)$
• $h[n]$$s[n]$

Intuitivamente, a integração no domínio do tempo contínuo é equivalente à soma no domínio do tempo discreto. Da mesma forma, a derivada no domínio do tempo contínuo é equivalente à diferença finita no domínio discreto.

$u$$\delta$

• $u(t) = \int \delta(t)$
• $u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

$s$$h$

• $s(t) = \int h(t)$
• $s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Agora, se você observar atentamente a última equação:

$$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$$

$h[n]$$s[n]$$s[n-1]$

$$h[n] = s[n] - s[n-1]$$