Por que a DFT assume que o sinal transformado é periódico?

Em muitos livros de processamento de sinais, alega-se que o DFT assume que o sinal transformado seja periódico (e que essa é a razão pela qual vazamentos espectrais, por exemplo, podem ocorrer).

Agora, se você olhar para a definição da DFT, simplesmente não existe esse tipo de suposição. No entanto, no artigo da Wikipedia sobre a transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT), afirma-se que

Quando a sequência de dados de entrada é periódica, a Eq.2 pode ser reduzida computacionalmente para uma transformada de Fourier discreta (DFT)$x[n]$$N$

• Então, essa suposição decorre da DTFT?
• Na verdade, ao calcular o DFT, estou calculando o DTFT com a suposição de que o sinal é periódico?

Já existem boas respostas, mas ainda sinto vontade de acrescentar outra explicação, porque considero este tópico extremamente importante para a compreensão de muitos aspectos do processamento de sinal digital.

Antes de tudo, é importante entender que o DFT não "assume" a periodicidade do sinal a ser transformado. A DFT é simplesmente aplicada a um sinal finito de comprimento e os coeficientes DFT correspondentes são definidos por$N$

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$$

De (1) é óbvio que apenas amostras de no intervalo são consideradas, portanto, nenhuma periodicidade é assumida. Por outro lado, os coeficientes podem ser interpretados como coeficientes de Fourier da continuação periódica do sinal . Isso pode ser visto a partir da transformação inversa[ 0 , N - 1 ] X [ k ] x [ n $x[n]$$[0,N-1]$$X[k]$$x[n]$

$$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$$

que calcula correctamente no intervalo , mas também calcula a sua continuação periódica fora deste intervalo, porque o lado direito de (2) é periódico com um período de . Essa propriedade é inerente à definição da DFT, mas não precisa nos incomodar, porque normalmente estamos interessados ​​apenas no intervalo .[ 0 , N - 1 ] N [ 0 , N - 1 $x[n]$$[0,N-1]$$N$$[0,N-1]$

Considerando o DTFT de$x[n]$

$$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$$

podemos comparar, comparando (3) com (1), que se é uma sequência finita no intervalo , os coeficientes da DFT são amostras da DTFT :[ 0 , N - 1 ] X [ k ] X ( ω $x[n]$$[0,N-1]$$X[k]$$X(\omega)$

$$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$$

Portanto, um uso do DFT (mas certamente não o único) é calcular amostras do DTFT. Mas isso só funciona se o sinal a ser analisado tiver um comprimento finito . Normalmente, este sinal de comprimento finito é construído pelo sinal de um sinal mais longo. E é essa janela que causa vazamento espectral.

Como última observação, observe que o DTFT da continuação periódica da sequência finita pode ser expresso em termos dos coeficientes de DFT de :x[n]x[n$\tilde{x}[n]$$x[n]$$x[n]$

~ X (ω)=2

$$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$$ $$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$$

EDIT: O fato de que e fornecidos acima são um par de transformações DTFT pode ser mostrado a seguir. Primeira nota que o DTFT de um pente de impulso de tempo discreto é um pente Dirac: ˜ X (ω$\tilde{x}[n]$$\tilde{X}(\omega)$

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$$

A sequência pode ser escrita como a convolução de com um pente de impulso:x[n$\tilde{x}[n]$$x[n]$

$$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$$

Como a convolução corresponde à multiplicação no domínio DTFT, o DTFT de é determinado pela multiplicação de com um pente Dirac: ˜ x [n]X(ω$\tilde{X}(\omega)$$\tilde{x}[n]$$X(\omega)$

$$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$$

Combinar com estabelece o resultado .( 4 ) ( 6 $(9)$$(4)$$(6)$

Vem da definição do sinal no domínio do tempo:

$$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$$

Você pode ver, por definição, que . Por outro lado, o DFT reconstrói perfeitamente as N amostras do sinal. Portanto, você pode concluir que assume uma continuação periódica dele.$x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$

Outro ponto de vista seria olhar para a DFT como uma série de Fourier discreta finita (na verdade é, dê uma olhada na série de Fourier discreta - DFS ), que obviamente indica que o sinal é periódico (a soma finita de sinais com o período é um sinal que tem um período ).$T$$T$

É uma suposição desnecessária (e freqüentemente falsa). A DFT é apenas uma transformação básica de um vetor finito.

Os vetores básicos da DFT são apenas trechos de funções periódicas infinitamente extensíveis. Mas não há nada inerentemente periódico na entrada ou nos resultados da DFT, a menos que você estenda os vetores básicos fora da abertura da DFT. Muitas formas de análise de sinal não requerem nenhuma extensão ou suposição fora da janela de amostra ou vetor de dados finitos.

Qualquer artefato de "vazamento" também pode ser assumido como sendo de uma convolução da janela retangular padrão com um sinal que não é periódico ou que possui periodicidade ou estacionariedade desconhecida. Isso faz muito mais sentido ao analisar janelas FFT sobrepostas, onde qualquer suposição de periodicidade fora de qualquer janela DFT ou FFT pode ser inconsistente com os dados em outras janelas.

A periodicidade pode tornar a matemática relacionada ao DFT ao DTFT mais tratável. Porém, qualquer relação com a DTFT pode ou não ser necessária ao usar uma FFT para processamento de sinal (dependendo exatamente de quais propriedades de transformação de Fourier são necessárias para uma análise mais aprofundada do método de processamento).

Ok, minha resposta será um pouco diferente das outras respostas. minha resposta aceita a premissa da pergunta em vez de negar a premissa da pergunta.

a razão pela qual a DFT "assume" o sinal de entrada (o sinal a ser transformado, o que eu presumo que OP significa "sinal transformado") é periódica é porque a DFT ajusta uma coleção de funções básicas a esse sinal de entrada, todas elas são periódicos.

considere um conjunto diferente de funções básicas:

$$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$$

e com amostras de entrada:$N$

$$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$$

podemos ajustar uma soma linear dessas funções à sequência de entrada$g_k(n)$

$$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$$

com seleção criteriosa dos coeficientes . calcular todo requer resolver equações lineares com incógnitas. você pode usar a eliminação gaussiana para fazer isso.$X[k]$$X[k]$$N$$N$

com os valores corretos para para , podemos garantir que a soma dessas funções de potência (que é um polinômio de ordem de ordem n) será avaliada exatamente como para cada tal que .$N$$X[k]$$0 \le k \le N-1$$(N-1)$$x[n]$$n$$0 \le n \le N-1$

agora, e se você usar esse somatório para ir além do intervalo de ? você pode avaliá-lo para qualquer . você notará que o comportamento dessa função será o de um polinômio de ordem , porque é isso que é. para grande o suficiente, somente a potência mais alta com um coeficiente diferente de zero definirá a tendência para o extrapolado .$0 \le n \le N-1$ $n$$(N-1)$$n$$x[n]$

agora, com o DFT, estamos ajustando um conjunto diferente de funções básicas à nossa sequência de entrada:

$$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$$

$$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$$

e os coeficientes, , podem ser resolvidos e são:$X[k]$

$$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$$

a localização desse é uma questão de convenção. Estou colocando onde a maior parte da literatura coloca o fator . poderia ser removido da equação e colocado na equação . ou "metade" ( ) pode ser colocada com ambas as equações. é apenas uma questão de convenção.$\frac{1}{N}$$\frac{1}{N}$$x[n]$$X[k]$$\sqrt{\frac{1}{N}}$

mas aqui estamos ajustando um conjunto de funções básicas que são todas periódicas com o período ao original . portanto, mesmo que veio a partir de uma sequência mais longa não foi periódica, a DFT é considerando que é a soma de um grupo de funções de base cada um que são periódica com período . se você adicionar várias funções periódicas, todas com o mesmo período, a soma também deverá ser periódica com o mesmo período.x [ n ] x [ n ] x [ n ] $N$$x[n]$$x[n]$$x[n]$$N$

DFT é discreto. DTFT é contínuo. Podemos obter DFT a partir da DTFT, amostrando-a com o trem de pulsos do período certo, o que é realmente igual à multiplicação pelo trem de pulsos. A multiplicação no domínio de transformação é igual à convolução no domínio de tempo discreto, isso implica periodicidade de sinal.

Somente a DFT é prática no mundo digital discreto por causa de suposições periódicas nos dois domínios. (Se você chamar assim.) Como o sinal não periódico em um domínio causa sinal contínuo no outro e você pode armazenar apenas sinais discretos na memória digital. Portanto, você precisa assumir que os sinais são periódicos nos dois domínios para torná-lo discreto nos dois domínios.

Quando você calcula o DTFT, obtém um sinal contínuo no domínio da frequência como saída.
Eu não acho que você usará o mesmo procedimento ao calcular a DFT na prática. Quando você realmente calculou DTFT e DFT, entenderá que ambos os cálculos de transformação são histórias diferentes.

Como o sinal é periódico, o sinal deslocado no tempo não altera a magnitude absoluta do domínio da frequência.

$$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$$

$${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$$

A propósito, não há nada que o impeça de captar a FFT de um sinal não periódico, mas há pouco uso prático se nenhuma das transformações funcionar.