Problema.

Há um sinal discreto$f[i]$ (exemplo abaixo).

Sabe-se que tem uma forma de pulso retangular com ruído gaussiano branco aditivo.$f[i]$

$f[i] = s[i] + n[i]$ , , ,
$s[i] = \alpha(\theta[i - i_{1}] - \theta[i - i_{2}]) + c$
$i_{2} > i_{1}$
$i_{1} > N$

Onde é uma função passo Heaviside, é um ruído gaussiano branco aditivo, é uma altura de pulso retangular, é um índice da primeira amostra de pulso retangular, é um índice da última amostra de pulso retangular, é um nível constante de sinal, é um parâmetro ajustável.
$\theta[i]$
$n[i]$
$\alpha$
$i_{1}$
$i_{2}$
$c$
$N$

Todos os parâmetros podem ter uma grande variedade de valores.
É necessário encontrar o valor de$(i_{2} - i_{1})$ (duração do pulso retangular nas amostras).

Soluções possíveis.

No momento, tentei duas maneiras de resolver esse problema.

Filtro passa-baixo com limite.

Como primeira tentativa, usei um esquema simples com filtro e limite de passa-baixo.
1. Aplique o filtro passa-baixo FIR com frequência de corte igual a . 2. Estime a média e a dispersão do ruído filtrado das primeiras amostras do sinal. 3. Defina o limite . 4. Estime . 5. Calcule .$0.05f_{sampling}$
$m$$\sigma^{2}$$N$
$t = m + 3\sigma$
$i_{1} = \min_{i}(f[i] > t)$
$i_{2} = \max_{i}(f[i] > t)$

Prós:
1. Este algoritmo é simples.
2. É fácil escrever uma implementação rápida.

Contras:
1. É difícil estimar o valor eficiente da frequência de corte do filtro. Por um lado, o valor baixo pode corromper a forma de pulsos curtos. Por outro lado, grande valor diminui o efeito da filtração.
2. O algoritmo não está usando todas as informações, temos sobre o sinal.

Análise de regressão

Como segunda tentativa, tentei aproximar a sequência de entrada de amostras com a função .$s'[i]$

$s'[i] = \alpha(\theta'[i - i_{1}] - \theta'[i - i_{2}]) + c$ , , em que é um pequeno parâmetro.
$\theta'[i] = \frac{1}{1+e^{-\frac{i}{\beta}}}$$\beta$

Para aproximação, usei o método dos mínimos quadrados com descida gradiente para minimizar a função de custo.
1. Defina os valores iniciais para , , , . 2. Realize a descida do gradiente. 3. Defina o limite . 4. Estime . 5. Calcule .$\alpha$$c$$i_{1}$$i_{2}$

$t = c + 0.5\alpha$
$i_{1} = \min_{i}(f[i] > t)$
$i_{2} = \max_{i}(f[i] > t)$

Prós:
1. Este algoritmo fornece resultados com boa precisão.
2. Funciona para uma ampla gama de durações.

Contras:
1. É muito lento.

Questão.

Afinal, não estou satisfeito com a precisão do primeiro algoritmo e com a velocidade do segundo. Como resolveria este problema?
Existe alguma solução clássica que não consegui encontrar?
Idéias, links, qualquer feedback será muito apreciado.
Obrigado.

Você deseja um método que remova o ruído enquanto preserva as bordas. Isso não pode ser alcançado bem com a filtragem linear, como você percebeu. Conheço duas abordagens que podem funcionar bem para o seu problema. O primeiro é a filtragem mediana , onde as amostras dentro de uma janela são substituídas pela mediana. O gráfico a seguir mostra o resultado da filtragem mediana com um comprimento de janela de 25 amostras (em vermelho):

A outra abordagem, mais complexa, é o denoising de variação total , que funciona muito bem para sinais constantes por partes. Há uma descrição muito boa do denoising de variação total, incluindo o código Matlab disponível: link .

Eu sei que isso é muito antigo , e @Matt L. já deu uma resposta excelente e informativa. Eu não tinha ideia de que existia a variação total da variação, então aprendi algo bastante útil. Consequentemente, votei tanto na pergunta quanto na resposta e quero dar uma coisinha, como é, de volta ao site. A idéia básica é usar uma versão digital simples do antigo RC LPF e reduzir bastante a 'constante de tempo' quando ocorrer uma etapa. Depois, após a etapa, aumente bastante a 'constante de tempo'. NB A 'constante de tempo' não será realmente constante, como será visto abaixo.

A figura abaixo mostra minha tentativa de replicar o exemplo de pulso retangular barulhento genérico do OP e como um filtro passa-baixo 'derivado recíproco' (doravante denominado RD-LPF) executa:

O RD-LPF é simplesmente , onde e Eu usei . O pulso retangular limpo tinha amplitude unitária, iniciada em t = 3 e largura do pulso era 3. O ruído gaussiano aditivo branco tinha e .$y[i] = Ay[i-1] + (1-A)x[i]$$A = exp(-K|y[i-1] - x[i]|)$$K = 0.2$$\mu = 0$$\sigma = 0.3$

A figura a seguir compara a saída RD-LPF (rastreio vermelho) com (como na resposta de Matt L.) uma saída do filtro mediano em movimento de 25 pontos (rastreio azul):

Não estou dizendo que jamais usaria o RD-LPF para algo sério, mas fiquei curioso para ver se ele seria destruído nessa pequena comparação. Evidentemente, esse não é o caso.