Transformada de Fourier 4 vezes = função original (do livro de Bracewell)

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Eu estava olhando "The Fourier Transform & Its Applications", de Ronald Bracewell, que é um bom livro de introdução sobre a Fourier Transforms. Nele, ele diz que, se você tomar o FT de uma função 4 vezes, recupera a função original, ou seja,

F(F(F(F(g(x)))))=g(x).

Alguém poderia me mostrar como isso é possível? Estou assumindo que a declaração acima é para x complexo, e isso tem algo a ver comEu0 0=1 1, Eu1 1=Eu, Eu2=-1 1, Eu3=-Eu, Eu4=1 1?

Obrigado por sua iluminação.

sambajetson
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"Equivalente à inversão do tempo" - isso me fez pensar. Se você tiver a transformada de Fourier da função de onda de uma partícula, a transformação inversa de Fourier fornecerá a função de onda da anti-partícula?
Bart Wisialowski 23/08/19

Respostas:

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Usarei a transformada de Fourier não unitária (mas isso não é importante, é apenas uma preferência):

(1)X(ω)=-x(t)e-Euωtdt

2)x(t)=1 12π-X(ω)eEuωtdω

onde (1) é a transformação de Fourier e (2) é a transformação de Fourier inversa.

Agora, se você tomar formalmente a transformação de Fourier de X(ω) você recebe

(3)F{X(ω)}=F2{x(t)}=-X(ω)e-Euωtdω

Comparando (3) com (2), temos

4)F2{x(t)}=2πx(-t)

Portanto, a transformada de Fourier é igual a uma transformada de Fourier inversa com uma mudança de sinal da variável independente (além de um fator de escala devido ao uso da transformada de Fourier não unitária).

Desde a transformação de Fourier de x(-t) é igual a X(-ω), a transformada de Fourier de (4) é

(5)F3{x(t)}=2πX(-ω)

E, por um argumento semelhante ao usado em (3) e (4), a transformada de Fourier de X(-ω) é igual a 2πx(t). Portanto, obtemos para a transformada de Fourier de (5)

(6)F4{x(t)}=2πF{X(-ω)}=(2π)2x(t)

qual é o resultado desejado. Observe que o fator(2π)2em (6) é uma consequência do uso da transformada de Fourier não unitária. Se você usar a transformação de Fourier unitária (onde a transformação e sua inversa obtêm um fator1 1/2π) esse fator desapareceria.

Em resumo, além de fatores constantes irrelevantes, você obtém

x(t)FX(ω)Fx(-t)FX(-ω)Fx(t)
Matt L.
fonte
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De fato, (6) sugere uma idéia fantástica sobre como se pode projetar um amplificador que converta computação em ganho de amplitude: basta tomar a transformação de Fourier não unitária de x(t)4 vezes para amplificar o sinal com um fator de 39 ou mais (ou ganho de 31 dB)!
precisa
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@DilipSarwate: Como posso ter perdido isso! Eu entraria em contato com um advogado de patentes antes que alguém aqui roube essa idéia brilhante!
Matt L.
Fator unitário deve ser 1 12π, digitado incorretamente no último parágrafo.
mbaitoff
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Muito tarde! Uma patente já foi concedida por um método ainda melhor (usando a FFT para reduzir o cálculo total de4N2 para 4NregistroNem vez da transformada simples de Fourier com baunilha).
precisa
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Eu não vi essa pergunta ou resposta antes. eu diria que "fatores constantes" não são "irrelevantes" . por isso eu recomendaria a unidade Fourier Transform.
robert bristow-johnson