Eu estava olhando "The Fourier Transform & Its Applications", de Ronald Bracewell, que é um bom livro de introdução sobre a Fourier Transforms. Nele, ele diz que, se você tomar o FT de uma função 4 vezes, recupera a função original, ou seja,
Alguém poderia me mostrar como isso é possível? Estou assumindo que a declaração acima é para x complexo, e isso tem algo a ver com, , , , ?
Obrigado por sua iluminação.
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Respostas:
Usarei a transformada de Fourier não unitária (mas isso não é importante, é apenas uma preferência):
onde (1) é a transformação de Fourier e (2) é a transformação de Fourier inversa.
Agora, se você tomar formalmente a transformação de Fourier deX( ω ) você recebe
Comparando (3) com (2), temos
Portanto, a transformada de Fourier é igual a uma transformada de Fourier inversa com uma mudança de sinal da variável independente (além de um fator de escala devido ao uso da transformada de Fourier não unitária).
Desde a transformação de Fourier dex ( - t ) é igual a X( - ω ) , a transformada de Fourier de (4) é
E, por um argumento semelhante ao usado em (3) e (4), a transformada de Fourier deX( - ω ) é igual a 2 πx ( t ) . Portanto, obtemos para a transformada de Fourier de (5)
qual é o resultado desejado. Observe que o fator( 2 π)2 em (6) é uma consequência do uso da transformada de Fourier não unitária. Se você usar a transformação de Fourier unitária (onde a transformação e sua inversa obtêm um fator1 /2 π--√ ) esse fator desapareceria.
Em resumo, além de fatores constantes irrelevantes, você obtém
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