Simetria discreta de transformada de Fourier

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Eu estava lendo o capítulo sobre transformadas discretas de Fourier no livro de Lyons - Entendendo o processamento de sinais digitais - e não conseguia entender o último parágrafo sobre simetria.

Há uma propriedade de simetria adicional da DFT que merece menção neste momento. Na prática, ocasionalmente somos solicitados a determinar a DFT das funções reais de entrada em que o índice de entrada é definido sobre valores positivos e negativos. Se essa função de entrada real é par, então é sempre real e par; isto é, se o real , então, é geralmente diferente de zero e é zero. Por outro lado, se a função de entrada real é ímpar, , então é sempre zero e é , em geral, diferente de zero.nX(m)x(n)=x(n)Xreal(m)Ximag(m)x(n)=x(n)Xreal(m)Ximag(m)

Nota:X(m)=Xreal(m)+jXimag(m)

  • Em primeiro lugar, o que se entende por "ímpar" e "par"? Eu suspeito que seja o número de amostras no sinal de entrada, mas isso me leva à minha segunda pergunta,
  • Por que zero com funções reais de entrada pares e por que, com funções de entrada reais ímpares, é zero e geralmente diferente de zero?X real ( m ) X imag ( m )Ximag(m)Xreal(m)Ximag(m)
someguy
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Sim, depois da resposta de Hilmar, entendi a que o texto se referia.
someguy

Respostas:

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Par e ímpar referem-se à simetria em torno de .n=0

Par significa ; você pode obter a peça para simplesmente espelhando a peça para na linha .n < 0 n > 0 n = 0x[n]=x[n]n<0n>0n=0

Ímpar significa ; você pode obter a peça para simplesmente espelhando a peça para na linha e multiplicando-a por .n < 0 n > 0 n = 0 - 1x[n]=x[n]n<0n>0n=01

Uma onda cosseno é par, a onda senoidal é ímpar.

Estes são apenas casos especiais da simetria geral que diz

se é real em um domínio, é conjugado simétrico no outro.

Conjugado simétrico significa que a parte real é par e a parte imaginária é ímpar. A maioria das pessoas sabe que um sinal de domínio em tempo real como um espectro simétrico conjugado, mas também vai ao contrário: um sinal de domínio simétrico conjugado tem um espectro de valor real.

Hilmar
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Ah, imaginar uma onda cosseno e uma onda senoidal me ajudou a entender funções de entrada ímpares e pares. Obrigado.
someguy
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É claro que a resposta de Hilmar está perfeitamente correta, mas acho que há vários pontos que Lyons não abordou na declaração citada pelo OP (ou talvez ele tenha falado sobre eles anteriormente e optou por não se repetir no parágrafo citado pelo OP) .

(x[0],x[1],,x[N1])N(X[0],X[1],,X[N1])N

X[m]=k=0N1x[k]exp(j2πmkN), m=0,1,,N1,x[n]=1Nm=0N1X[m]exp(j2πnmN), n=0,1,,N1.
m,n[0,N1]Nx[]X[](x[0],x[1],,x[N1])(X[0],X[1],,X[N1])x[n+iN]=x[n]X[m+iN]=X[m]m,n,i

N(x[0],x[1],,x[N1])

X(0)[m]=k=0N1x[k]exp(j2πmkN), m=0,1,,N1,
(x[N],x[N+1],,x[2N1])
X(1)[m]=k=0N1x[k+N]exp(j2πmkN), m=0,1,,N1,
(x[N],x[N+1],,x[1])
X(1)[m]=k=0N1x[kN]exp(j2πmkN), m=0,1,,N1,
N

Agora, quando Lyons fala de ... onde o índice de entrada n é definido sobre os valores positivos e negativos ... ele está falando do caso periódico e quando diz que uma função par (real) tem a propriedade , essa propriedade deve ser válida para todos os números inteiros . Como a periodicidade também se aplica, temos não apenas que mas e, da mesma forma, . Em outras palavras, a sequência par real cuja DFT é uma sequência par real (como declarado por Lyons e explicado muito bem por Hilmar) é necessariamenten x [ 0 ] , x [ 1 ] , x[n]=x[n]nx[1]=x[1]x[1]=x[1+N]=x[N1]x[n]=x[n]=x[Nn] (x[0],x[1],,x[N1])da forma que é (além do ) uma sequência palindrômica . Se você estiver particionando seus dados em blocos de comprimento e computando a DFT de cada bloco separadamente, essas DFTs separadas não terão as propriedades de simetria descritas acima, a menos que a DFT seja de um bloco com essa propriedade palíndrica.x [ 0 ] N

(x[0],x[1],,x[N1])=(x[0],x[1],x[2],x[3],,x[3],x[2],x[1])
x[0]N
Dilip Sarwate
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Apenas para esclarecimentos de funções pares e ímpares,

Par: simétrico em relação ao eixo y Ímpar: simétrico em relação à origem

E sem entrar em detalhes matemáticos, a DFT da função com valor real é simétrica, ou seja, a função de Fourier resultante possui partes reais e imaginárias, que são imagens espelhadas em relação ao componente de frequência 0. Isso não acontece no caso em que você usa o DFT de uma função complexa.

Naresh
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> Par: simétrico em relação ao eixo y Ímpar: simétrico em relação à origem. Você poderia explicar um pouco mais o que isso significa, talvez dando exemplos de funções que você considere iguais e ímpares, respectivamente? Tenho a sensação de que talvez sua definição permita que uma função seja par e ímpar. É assim mesmo?
precisa saber é o seguinte
Oi Dilip, Se uma função é uma imagem espelhada em relação ao eixo y, é par. Por exemplo, cosseno é uma imagem espelhada em relação ao eixo Y. É uma função uniforme. Para funções ímpares, é um reflexo em relação à origem. Significa que você faz reflexão em relação a X e Y. Como função senoidal. Você pode apenas olhar para o gráfico e dizer se é uma função par ou ímpar.
Nunesh