Eu estava lendo o capítulo sobre transformadas discretas de Fourier no livro de Lyons - Entendendo o processamento de sinais digitais - e não conseguia entender o último parágrafo sobre simetria.
Há uma propriedade de simetria adicional da DFT que merece menção neste momento. Na prática, ocasionalmente somos solicitados a determinar a DFT das funções reais de entrada em que o índice de entrada é definido sobre valores positivos e negativos. Se essa função de entrada real é par, então é sempre real e par; isto é, se o real , então, é geralmente diferente de zero e é zero. Por outro lado, se a função de entrada real é ímpar, , então é sempre zero e é , em geral, diferente de zero.
Nota:
- Em primeiro lugar, o que se entende por "ímpar" e "par"? Eu suspeito que seja o número de amostras no sinal de entrada, mas isso me leva à minha segunda pergunta,
- Por que zero com funções reais de entrada pares e por que, com funções de entrada reais ímpares, é zero e geralmente diferente de zero?X real ( m ) X imag ( m )
discrete-signals
dft
someguy
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Respostas:
Par e ímpar referem-se à simetria em torno de .n=0
Par significa ; você pode obter a peça para simplesmente espelhando a peça para na linha .n < 0 n > 0 n = 0x[n]=x[−n] n<0 n>0 n = 0
Ímpar significa ; você pode obter a peça para simplesmente espelhando a peça para na linha e multiplicando-a por .n < 0 n > 0 n = 0 - 1x [ n ] = - x [ - n ] n<0 n>0 n=0 −1
Uma onda cosseno é par, a onda senoidal é ímpar.
Estes são apenas casos especiais da simetria geral que diz
Conjugado simétrico significa que a parte real é par e a parte imaginária é ímpar. A maioria das pessoas sabe que um sinal de domínio em tempo real como um espectro simétrico conjugado, mas também vai ao contrário: um sinal de domínio simétrico conjugado tem um espectro de valor real.
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É claro que a resposta de Hilmar está perfeitamente correta, mas acho que há vários pontos que Lyons não abordou na declaração citada pelo OP (ou talvez ele tenha falado sobre eles anteriormente e optou por não se repetir no parágrafo citado pelo OP) .
Agora, quando Lyons fala de ... onde o índice de entrada n é definido sobre os valores positivos e negativos ... ele está falando do caso periódico e quando diz que uma função par (real) tem a propriedade , essa propriedade deve ser válida para todos os números inteiros . Como a periodicidade também se aplica, temos não apenas que mas e, da mesma forma, . Em outras palavras, a sequência par real cuja DFT é uma sequência par real (como declarado por Lyons e explicado muito bem por Hilmar) é necessariamenten x [ 0 ] , x [ 1 ] , …x[n]=x[−n] n x[−1]=x[1] x[−1]=x[−1+N]=x[N−1] x[−n]=x[n]=x[N−n] (x[0],x[1],…,x[N−1]) da forma
que é (além do ) uma sequência palindrômica . Se você estiver particionando seus dados em blocos de comprimento
e computando a DFT de cada bloco separadamente, essas DFTs separadas não terão as propriedades de simetria descritas acima, a menos que a DFT seja de um bloco com essa propriedade palíndrica.x [ 0 ] N
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Apenas para esclarecimentos de funções pares e ímpares,
Par: simétrico em relação ao eixo y Ímpar: simétrico em relação à origem
E sem entrar em detalhes matemáticos, a DFT da função com valor real é simétrica, ou seja, a função de Fourier resultante possui partes reais e imaginárias, que são imagens espelhadas em relação ao componente de frequência 0. Isso não acontece no caso em que você usa o DFT de uma função complexa.
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