A função retangular é definida como:
A função triangular é definida como: É a convolução de duas funções retangulares unitárias idênticas: Espera de ordem zero e Primeira em espera, use essas funções. De fato, ele possui: para retenção de ordem zero e para espera de primeira ordem. Desde a tri ( t ) = ret ( t ) ∗ ret ( t )
x Z O H ( t )
x F O H ( t )
tri ( t ) = ret ( t ) ∗ ret ( t )
, gostaria de saber se isso é apenas uma coincidência ou se, para a segunda ordem, manter a resposta ao impulso é
É verdade também para uma ordem ordem geral ? Ou seja, coloque
x _ {\ mathrm {K-TH}} (t) \, = \ sum_ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) \, \ mathrm {g} _k \ left (tn \ à direita) \
where \ mathrm {g} _k \ left (tn \ right) é a resposta de impulso da ordem k- ésima, eu gostaria de saber se a resposta de impulso é
k x K - T H ( t )
k vezes.
sampling
interpolation
Marca
fonte
fonte
Respostas:
Este não é o caso. Antes de tudo, uma retenção de segunda ordem usaria três pontos de amostra para calcular um polinômio de interpolação, mas sua resposta de impulso sugerida é diferente de zero em um intervalo de tamanho 4 (assumindo um intervalo de amostra de T = 1 , como você faz na sua pergunta). No entanto, a resposta ao impulso correspondente a uma retenção de segunda ordem deve ter um suporte de comprimento 3 .tri(t)⋆tri(t) 4 T=1 3
Agora você poderia sugerir que um -order espera poderia ter uma resposta ao impulso que é a convolução de n funções retangulares. Nesse caso, você obteria o tamanho de suporte correto, mas é claro que isso não é suficiente.nth n
Um -order preensão calcula uma interpolação peça-sábio usando n + 1 pontos de dados consecutivos. Isso está em analogia com uma retenção de ordem zero usando um único ponto de dados e uma retenção de primeira ordem, que usa dois pontos de dados. Essa definição é comumente usada na literatura (veja, por exemplo, aqui e aqui ).nth n+1
É simples mostrar que o polinômio de segunda ordem que interpola três pontos de dados , y [ 0 ] e y [ 1 ] é dado pory[−1] y[0] y[1]
Para encontrar a resposta de impulso alcançando a interpolação dada por , temos que equiparar ( 1 ) com a expressão(1) (1)
Se escolhermos o suporte da resposta de impulso como o intervalo [ - 1 , 2 ] , que é equivalente a escolher o intervalo de interpolação [ 0 , 1 ] , a equação ( 1 ) e ( 2 ) resulta no seguinte impulso resposta de uma retenção de segunda ordem:h(t) [−1,2] [0,1] (1) (2)
A resposta ao impulso de uma retenção de segunda ordem é assim:(3)
Deixo a você mostrar que essa resposta ao impulso não pode ser gerada pela convolução de três funções retangulares.
fonte
então é por isso que eu acho que uma ordem de ésima retida é um ret ( t - T / 2n convolveu-senvezes.rect(t−T/2T) n
A Wikipedia não é a referência final de todas as coisas, mas há algo que eu cheirei a partir daí. considere amostragem e reconstrução (o Shannon Whittaker, qualquer que seja a fórmula). Se a entrada é limitado em banda original é e as amostras são x [ n ] ≜ x ( n T ) que de entrada bandlimited pode ser reconstruído a partir das amostras comx(t) x[n]≜x(nT)
que é a saída de um filtro brickwall ideal com resposta de frequência:
quando conduzido pela função de amostra ideal
isso significa que a resposta de impulso deste filtro brickwall ideal é
e pode ser modelado como um filtro com resposta ao impulso
and the frequency response of the implied reconstruction filter is
note the constant half-sample delay in this frequency response. that's where the Zero-order hold comes from.
so, while the ZOH has the same DC gain as the ideal brickwall reconstruction but not the same gain at other frequencies. in addition, the images inxs(t) aren't fully beaten down as would be with the brickwall, but they're beaten down a bit.
so why, in the POV of the time domain, is this? i think it's because of the discontinuities inxDAC(t) . it's not as bad as the sum of dirac impulses in xs(t) , but xDAC(t) has jump discontinuities.
how do you get rid of jump discontinuities? maybe turn them into discontinuities of the first derivative. and you do that by used if integration in the continuous time domain. so a first-order hold is one where the output of the DAC is run through an integrator with transfer function1j2πfT but we try to undo the effects of integrator with a differentiator done in the discrete-time domain. the output of that discrete-time differentiator is x[n]−x[n−1] or Z-transform X(z)−z−1X(z)=X(z)(1−z−1)
the transfer function of that differentiator is(1−z−1) or, in the continuous Fourier domain, (1−(ej2πfT)−1)=1−(e−j2πfT) . this makes the transfer function of the first-order hold that of the continuous-time integrator, the discrete-time differentiator, and the ZOH of the DAC all multiplied together.
the impulse response of this is
now, continuing with this further, the second-order hold would have both continuous zeroth and first derivatives. it does this by integrating again in the continuous-time domain and trying to make up for it in the discrete-time domain with another differentiator. that tosses in anotherejπfTsinc(fT) factor which means convolving with another rect(t−T2T) .
fonte
Another question was marked as a duplicate of this. There it was asked also what polygonal hold is. It and polygon hold seem to be synonyms for linear interpolation, where "dots are connected" rather than the output looking like a saw as in predictive first-order hold. Connecting the samples with lines requires knowing the next sample in advance so that the line may be aimed at the correct direction. In the context of real-time control systems where the samples are not known in advance, it means that the output must be delayed by one sampling period for the lines to connect at the samples.
Polynomial hold (not polygonal hold) includes both zero-order hold and first-order hold.
fonte