Filtro passa-baixo de primeira ordem

Estou tentando entender melhor o filtro passa-baixo de primeira ordem:

Resumo :

Na Wikipedia, um filtro passa-baixa de primeira ordem produz o seguinte em um tempo discreto: gera ou

$$\frac{Y(s)}{U(s)}= \frac{\omega_{c}}{s+\omega_{c}}$$ $$y[k] = \left(\frac{\omega_c T_{s}}{1+\omega_{c} T_{s}} \right) u[k]+\left(\frac{1}{1+\omega_c T_{s}}\right) y[k-1]$$ $$y[k] =\alpha \, u[k] \ + \ (1 - \alpha)y[k-1]$$

Onde

$\begin{array}{cclc} \omega_{c} &:& \text{Cutoff angular frequency of filter} & [\frac{rad}{s}] \\ T_{s} &:& \text{Sampling period} & [s] \\ \end{array}$

Pergunta 1 :

Mesmo que esse filtro esteja em um tempo discreto, ele ainda modela um filtro analógico (plano $s$ )?

• Se eu quisesse usar um sistema de computação discreto para filtrar em tempo real,
  precisaria usar o equivalente digital (plano $z$ )?
• Em caso afirmativo, qual é o processo geral para executar isso?
  Meu melhor palpite é:
  1. Determine a frequência de corte digital $\omega_d$ .
  2. Converta para a frequência de corte analógica $\omega_a = \frac{2}{T} \cdot \mathrm{tan}(\omega_d \cdot \frac{T}{2})$ .
  3. Determine a função de transferência para filtro
     analógico (primeira ordem de passagem baixa) usando a frequência de corte analógica $\omega_a$ .
  4. Função Transformar para transferir para filtro digital
     usando transformação bilinear$z = \frac{2}{T} \cdot \frac{z-1}{z+1}$

Relação com suavização exponencial :

Na mesma página, a suavização exponencial é referenciada.
A página de suavização exponencial descreve uma média ponderada exponencial como:

$$y[k] =\alpha u[k]+\left(1 - \alpha\right)y[k-1]\quad\text{where}\quad\alpha = 1 - e^{-\omega_{c} \cdot T_{s}}$$

Pergunta 2 :

Como é possível relacionar o filtro passa-baixa de primeira ordem alfa
com o alfa de suavização exponencial?

Para responder sua primeira pergunta, sim, você precisará converter o sinal no plano Z. A transformação bi-linear é uma maneira de alcançar o resultado desejado. Você pode até tentar a Transformada invariável por impulso para converter o filtro analógico em digital.

O filtro no domínio digital, obviamente, tem uma correspondência no domínio analógico. No entanto, o comportamento do domínio analógico difere do filtro analógico correspondente via transformada bilinear devido ao desvio da frequência: a atenuação vai para$-\infty$ à medida que o sinal se aproxima da frequência de Nyquist, em vez de se aproximar de frequências infinitas.

Em resposta à primeira pergunta, não, você não precisa necessariamente converter o sinal no domínio z, mas isso provavelmente é a coisa mais comum a ser feita. Uma alternativa é calcular a resposta de frequência discretizada do filtro e multiplicar a DFT (FFT) do sinal de entrada com ele, e então tomar a DFT inversa (FFT). Costumo fazer isso nos meus plugins de áudio para filtros com ordem superior a dois para garantir estabilidade, principalmente quando os parâmetros do filtro são alterados.