onde e é log distribuído normalmente

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Eu estou tentando calcular a expectativa para arbitrário (para a expectativa é infinita) se for normalmente distribuído, ou seja, .c < 0 c > 0 X log ( X ) N ( μ , σ )

E[ecX]
c<0c>0Xlog(X)N(μ,σ)

Minha idéia era escrever a expectativa como uma integral, mas não vi como proceder:

E[ecX]=12σπ01xexp(cx(logxμ)22σ2)dx

Eu também tentei a fórmula Itô (a tarefa real é encontrar onde é um movimento browniano geométrico, mas isso se reduz ao problema acima porque estamos olhando para um processo de Markov) , mas isso também não parecia muito promissor. Alguém pode me ajudar?XE[ecXTXt=x]X

Elias Strehle
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Alexis
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Isso existe apenas como uma série de poder formal que não tem expressão de forma fechada.
whuber
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Muito obrigado! Embora não seja o que eu esperava, também prova que meu professor está errado. E isso é uma realização do seu próprio ;-)
Elias Strehle

Respostas:

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O que você deseja é a função geradora de momento de uma variável lognormal, que é conhecida por ser um problema difícil. Como alternativa, essa é a transformação de Laplace, que é sua expressão com substituído por . Você deve dar uma olhada em https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution, que possui algumas informações úteis.- ccc

O artigo "Na transformação de Laplace da distribuição lognormal", de Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen e Leonardo Rojas-Nandayapa, fornece a seguinte aproximação, que eles investigam em detalhes. Seja normal do log com parâmetros , o que significa que com . A transformação de Laplace é que Então consideramos a transformada de Laplace seguida, eles fornecem a aproximação para : ( μ , σ 2 ) X = e Y Y N ( μ , σ 2 ) E ( exp ( - θ e y ) = e - θ μ E ( exp ( - θ e Y 0 ) Y 0N ( 0 , σ 2 ) L ( θ ) = E (X(μ,σ2)X=eYYN(μ,σ2)

E(exp(θey)=eθμE(exp(θeY0)
Y0N(0,σ2)L ( θ ) 1L(θ)=E(exp(θeY0)L(θ)θW
11+W(θσ2)exp{12σ2W(θσ2)21σ2W(θσ2)}
que não é negativo. Aqui é a função Lambert W, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Em seguida, o artigo analisa a qualidade dessa aproximação e a compara com aproximações mais antigas).θW
kjetil b halvorsen
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