onde e é log distribuído normalmente

Eu estou tentando calcular a expectativa para arbitrário (para a expectativa é infinita) se for normalmente distribuído, ou seja, .c < 0 c > 0 X log ( X ) ∼ N ( μ , σ

$$E[e^{cX}]$$ $c<0$$c>0$$X$$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$

Minha idéia era escrever a expectativa como uma integral, mas não vi como proceder:

$$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$$

Eu também tentei a fórmula Itô (a tarefa real é encontrar onde é um movimento browniano geométrico, mas isso se reduz ao problema acima porque estamos olhando para um processo de Markov) , mas isso também não parecia muito promissor. Alguém pode me ajudar?$E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$$X$

O que você deseja é a função geradora de momento de uma variável lognormal, que é conhecida por ser um problema difícil. Como alternativa, essa é a transformação de Laplace, que é sua expressão com substituído por . Você deve dar uma olhada em https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution, que possui algumas informações úteis.- $c$$-c$

O artigo "Na transformação de Laplace da distribuição lognormal", de Søren Asmussen, Jens Ledet Jensen e Leonardo Rojas-Nandayapa, fornece a seguinte aproximação, que eles investigam em detalhes. Seja normal do log com parâmetros , o que significa que com . A transformação de Laplace é que Então consideramos a transformada de Laplace seguida, eles fornecem a aproximação para : ( μ , σ 2 ) X = e Y Y ∼ N ( μ , σ 2 ) E ( exp ( - θ e y ) = e - θ μ E ( exp ( - θ e Y 0 ) Y 0 ∼ N ( 0 , σ 2 ) L ( θ ) = E $X$$(\mu, \sigma^2)$$X=e^Y$$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$

$$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$ $Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$L ( θ ) $L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$$L(\theta)$θ $$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$$ que não é negativo. Aqui é a função Lambert W, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function . (Em seguida, o artigo analisa a qualidade dessa aproximação e a compara com aproximações mais antigas).$\theta$$W$