Expectativa de uma gama ao quadrado

11

Se uma distribuição gama for parametrizada com e β , então:αβ

E(Γ(α,β))=αβ

Eu gostaria de calcular a expectativa de uma gama ao quadrado, ou seja:

E(Γ(α,β)2)=?

Eu acho que é:

E(Γ(α,β)2)=(αβ)2+αβ2

Alguém sabe se esta última expressão está correta?

Joshua
fonte
1
Isso estava relacionado a um estudo de simulação no qual estou trabalhando, onde estou desenhando desvios padrão de uma gama e, em seguida, desejava a média das variações (isto é, gama ao quadrado).
Joshua

Respostas:

13

A expectativa do quadrado de qualquer variável aleatória é sua variação mais sua expectativa ao quadrado, como

.D2(X)=E([XE(X)]2)=E(X2)[E(X)]2E(X2)=D2(X)+[E(X)]2

A expectativa da -distribuição parametrizada como acima é α / β (como se mencionou), a variância é α / β 2 , portanto, a expectativa da sua quadrado éΓα/β α/β2

.(α/β)2+α/β2

Ou seja: você está certo.

Tamas Ferenci
fonte
Agradeço a resposta, embora eu não tenho certeza que siga sua equação --- se você segui-lo através de D2 (X) acaba igualando D2 (X) + E (X) ^ 2
Joshua
3
[E(X)]2
7

fX(x)=βαxα1eβxΓ(α),x>0.
α,β>0
x=0fX(x)dx=1,
z=0xz1ezdz=Γ(z).
k
E[Xk]=x=0xkfX(x)dx=1Γ(α)x=0βαxα+k1eβxdx=Γ(α+k)βkΓ(α)x=0βα+kxα+k1eβxΓ(α+k)dx=Γ(α+k)βkΓ(α),
1α+kβk=2E[X2]=Γ(α+2)β2Γ(α)=(α+1)αβ2.
MX(t)=E[etX]=x=0βαxα1eβx+txΓ(α)dx=βα(βt)αx=0(βt)αxα1e(βt)xΓ(α)dx=(ββt)α,t<β,
t
MX(t)=(1t/β)α,
E[Xk]=[dkMX(t)dtk]t=0=[(1t/β)αk]t=0j=0k1α+jβ=Γ(α+k)βkΓ(α).
heropup
fonte
Derivação muito clara e útil.
217 Joshua Joshua