Estimador imparcial com variância mínima para

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Seja uma amostra aleatória de uma distribuição para . Ou seja,X1,...,XnGeometric(θ)0<θ<1

pθ(x)=θ(1θ)x1I{1,2,...}(x)

Encontre o estimador imparcial com variação mínima parag(θ)=1θ

Minha tentativa:

Como a distribuição geométrica é da família exponencial, as estatísticas são completas e suficientes para . Além disso, se é um estimador para , ele é imparcial. Portanto, pelo teorema de Rao-Blackwell e pelo teorema de Lehmann-Scheffé, é o estimador que estamos procurando.

Xi
θ
T(X)=X1
g(θ)
W(X)=E[X1|Xi]

Temos o seguinte:

W(X)=i=1tiP(X1=i|Xi=t)=i=1tiP(i2Xi=ti)P(X1=i)P(i1Xi=t)

Como as variáveis ​​são geométricas, as distribuições de somas são binômios negativos. Mas estou tendo problemas para simplificar os coeficientes binomiais e, se possível, dar uma resposta final com uma forma melhor. Eu ficaria feliz em poder obter alguma ajuda.

Obrigado!

Edit: Eu não acho que vocês entendem a minha dúvida: eu acho que fiz todas as etapas corretas, talvez apenas tenha esquecido alguma função do indicador. Aqui está o que eu fiz:

...=i=1ti(ti1n2)θni(1θ)tin+1θ(1θ)i1(t1n1)θn(1θ)tn=i=1ti(ti1n2)(t1n1)

Como eu disse, estou tendo problemas para simplificar isso e com o índice somatório

Giiovanna
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Respostas:

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De fato, para uma variável geométrica , , e o teorema de Rao-Blackwell implica que é o estimador imparcial da variância mínima exclusiva. Mas, em vez de tentar calcular diretamente essa expectativa condicional, pode-se observar que daí que Observe, aliás, que, desdeG(θ)X

Eθ[X]=1/θ=g(θ)
θ^(T)=Eθ[X1|i=1nXi=T]
Eθ[X1|i=1nXi=T]==Eθ[Xn|i=1nXi=T]
Eθ[X1|i=1nXi=T]=1ni=1nEθ[Xi|i=1nXi=T]=Tn
j2Xj é um Binomial Negativo portanto, a soma final deve be Neg(n1,θ)
P(j2Xj=m)=(m1n2)θn1(1θ)mn+1Im>n1
i=1tn+1i(ti1n2)/(t1n1)
Xi'an
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