O binômio negativo não é expressável como na família exponencial se houver duas incógnitas?

Eu tinha uma tarefa de casa para expressar a distribuição binomial negativa como uma família exponencial de distribuições, uma vez que o parâmetro de dispersão era uma constante conhecida. Isso foi bastante fácil, mas eu me perguntava por que eles exigiriam que mantivéssemos esse parâmetro fixo. Eu descobri que não conseguia encontrar uma maneira de colocá-lo na forma correta, com os dois parâmetros desconhecidos.

Procurando on-line, encontrei alegações de que isso não é possível. No entanto, não encontrei nenhuma prova de que isso seja verdade. Também não consigo pensar em um. Alguém tem uma prova disso?

Conforme solicitado abaixo, anexamos algumas das reivindicações:

"A família de distribuições binomiais negativas com número fixo de falhas (também conhecido como parâmetro do tempo de parada) r é uma família exponencial. No entanto, quando qualquer um dos parâmetros fixos mencionados acima pode variar, a família resultante não é uma família exponencial. " http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family

"A distribuição binomial negativa de dois parâmetros não é um membro da família exponencial. Mas se tratarmos o parâmetro de dispersão como uma constante fixa conhecida, ele será um membro". http://www.unc.edu/courses/2006spring/ecol/145/001/docs/lectures/lecture21.htm

self-study mathematical-statistics negative-binomial proof exponential-family Larry
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Adicionei algumas das reivindicações acima.

Larry

Respostas:

Se você observar a densidade da distribuição Binomial Negativa em relação à medida de contagem no conjunto de números inteiros, a parte nessa densidade não pode ser expresso como .

\begin{aligned} p (x | N, p) & = (\binom{x + N - 1}{N - 1}) p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1)!}{x! (N - 1)!} p^{N} (1 - p)^{x} \\ = \frac{(x + N - 1) \dots (x + 1)}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} \\ = \frac{\exp {N \log (p)}}{(N - 1)!} \exp {N \log (p) + x \log (1 - p)} (x + N - 1) \dots (x + 1) \end{aligned}

$\begin{align*}p(x|N,p)&={x+N-1\choose{N-1}}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)!}{x!(N-1)!}p^N(1-p)^x\\ &= \frac{(x+N-1)\cdots(x+1)}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}\\ &= \frac{\exp\left\{N\log(p)\right\}}{(N-1)!}\exp\left\{N\log(p)+x\log(1-p) \right\}(x+N-1)\cdots(x+1)\end{align*}$

(x + N - 1) \dots (x + 1)

$(x+N-1)\cdots(x+1)$

\exp {A (N)^{T} B (x)}

$\exp\left\{ A(N)^\text{T}B(x)\right\}$

Xi'an
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