Se X e Y não estão correlacionados, X ^ 2 e Y também não estão correlacionados?

Se duas variáveis aleatórias e não estão correlacionadas, também podemos saber que e não correlacionam? Minha hipótese é sim. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ não correlacionado significa , ou $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

Isso também significa o seguinte?

E [X^{2} Y] = \int x^{2} y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x^{2} f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X^{2}] E [Y]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence Vegard Stikbakke
fonte

Sim. Esta pergunta foi feita e respondida antes, mas não consigo encontrar uma referência específica no meu dispositivo móvel.

precisa saber é o seguinte

@DilipSarwate, parece que a resposta aceita já fornece um exemplo contrário.

Vim

@DilipSarwate Você deve ter significado "Não" em vez de "Sim" no seu comentário!

Ameba diz Reinstate Monica

@amoeba A versão original da pergunta sobre independência, para a qual a resposta é sim. Desde então, foi editado para perguntar sobre variáveis aleatórias não correlacionadas. Não posso mudar meu comentário agora.

precisa saber é o seguinte

A pergunta original estava bastante confusa, pois usava uma definição errada de independência. A pergunta atual ainda está confusa, pois afirma que uma dedução inadequada não está correlacionada (assume ). Espero que @vegardstikbakke leia sobre as definições adequadas de independente e não correlacionado, com alguns exemplos.

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

Meni Rosenfeld 10/09

Respostas:

Não. Um contra-exemplo:

Seja uniformemente distribuído em , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

Então e também ( é uma função ímpar), então não são correlacionados. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

Mas $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

A última desigualdade decorre da desigualdade de Jensen. Também decorre do fato de que pois não é constante. $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

O problema com seu raciocínio é que pode depender de vice-versa, portanto sua penúltima igualdade é inválida. $f_X$ $y$

Jakub Bartczuk
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Não há necessidade de complicar a desigualdade de Jensen; é uma variável aleatória não negativa e não é wp 1, então (ou você pode simplesmente fazer e facilmente ver seu positivo )

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

Batman

Você também deve adicionar um gráfico. Eu estava considerando um exemplo semelhante (Y = | X | em -1: +1), mas o teria apresentado visualmente.

Anony-Mousse

@Batman: Eu realmente não vejo como isso lhe dá algo, pois estamos interessados se

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

Jakub Bartczuk,

@ Anony-Mousse Não há necessidade de restringir Y. Y = | X | atende ao requisito.

Loren Pechtel

LorenPechtel para visualização. Porque o IMHO é melhor ver por que isso pode acontecer, e não apenas que o resultado da matemática é o desejado.

Anony-Mousse

Mesmo se , não só é possível que e estejam correlacionados, mas eles podem até estar perfeitamente correlacionados, com : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

Ou : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

Caso você não consiga ler o código R , o primeiro exemplo é equivalente a considerar duas variáveis aleatórias e com uma distribuição conjunta tal que seja igualmente provável que seja , ou . No exemplo perfeitamente correlacionado negativamente, é igualmente provável que seja , ou . $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

No entanto, também podemos construir e modo que , para que todos os extremos sejam possíveis: $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

Silverfish
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O erro no seu raciocínio é que você escreve o seguinte sobre : enquanto em geral Os dois coincidem se , ou seja, se e são independentes. Ser não correlacionado é uma condição necessária, mas não suficiente, para ser independente. Portanto, se duas variáveis e não estão correlacionados, mas dependente, em seguida, e podem ser correlacionados. $E[h(X,Y)]$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

E [h (X, Y)] = \int h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

Luca Citi
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