Mostre que se

10

Atualmente preso a isso, eu sei que provavelmente deveria usar o desvio médio da distribuição binomial, mas não consigo descobrir.

thyde
fonte
11
Olá, seja bem-vindo ao CV. Embora perguntas como essa sejam bem-vindas, nós as tratamos de maneira diferente - se você colocar mais informações em sua pergunta, poderá obter dicas e orientações. Por favor, consulte o parágrafo relevante em sua página de ajuda e as diretrizes na self-study tag wiki . Adicione a self-studytag e modifique sua pergunta conforme sugerido (ou seja, mostre o que você tentou ou, pelo menos, explique o que você sabe sobre expectativas e binômios) e identifique onde estão suas dificuldades.
Glen_b -Reinstala Monica
11
você também pode olhar para a desigualdade de Jensen
seanv507
11
@ seanv507 certamente, se usarmos a desigualdade de Jensen, isso ocorre em uma única etapa, e se Théla cobriu isso, seria tudo o que seria necessário, mas nesse caso há uma prova realmente elementar que está bem ao alcance dos alunos que conhecem apenas alguns propriedades muito básicas de expectativa e variação.
Glen_b -Reinstala Monica
que se torna V a r [ X ] + ( E [ X ] - n p ) 2 , resolvendo então obtemos: n p q + ( n p - n p ) 2 = n p q . Isso está correto? E[Y2]=Var[Y]+E[Y]2Var[X]+(E[X]np)2npq+(npnp)2=npq
thyde
11
Eu acho que você está se confundindo com Var. basta usar E. você precisa mostrar que . E|Xnp|E[|Xnp|2]
seanv507

Respostas:

9

Para que o tópico do comentário não exploda, estou coletando minhas dicas para uma prova completamente elementar (você pode fazê-lo mais curto que isso, mas espero que isso torne cada etapa intuitiva). Excluí a maioria dos meus comentários (o que infelizmente os deixa parecendo um pouco desconjuntados).

  1. Seja . Nota E ( Y ) = 0 . Mostre Var ( Y ) = n p q . Se você já conhece Var ( X ) , pode apenas declarar Var ( Y ) , uma vez que mudar por uma constante não faz nada para variar.Y=XnpE(Y)=0Var(Y)=npqVar(X)Var(Y)

  2. Seja . Escreva uma desigualdade óbvia em Var ( Z ) , expanda Var ( Z ) e use o resultado anterior. [Você pode reorganizar levemente isso em uma prova clara, mas estou tentando motivar como chegar a uma prova, não apenas a prova final.]Z=|Y|Var(Z)Var(Z)

É tudo o que há para isso. São 3 ou 4 linhas simples, usando nada mais complicado do que propriedades básicas de variação e expectativa (a única maneira de o binômio chegar a isso é fornecer a forma específica de e Var ( X ) - você pode provar a caso geral de que o desvio médio é sempre σ tão prontamente).E(X)Var(X)σ

[Como alternativa, se você estiver familiarizado com a desigualdade de Jensen, poderá fazê-lo um pouco mais brevemente.]

-

Agora que já passou algum tempo, descreverei um pouco mais detalhadamente sobre como abordá-lo:

Z=|Xnq|Var(Z)=E(Z2)E(Z)2E(Z2)=E[(Xnq)2]

Observe que as variações devem ser positivas. O resultado segue.

Glen_b -Reinstate Monica
fonte