Mostre que se

Atualmente preso a isso, eu sei que provavelmente deveria usar o desvio médio da distribuição binomial, mas não consigo descobrir.

self-study binomial mean expected-value proof thyde
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Olá, seja bem-vindo ao CV. Embora perguntas como essa sejam bem-vindas, nós as tratamos de maneira diferente - se você colocar mais informações em sua pergunta, poderá obter dicas e orientações. Por favor, consulte o parágrafo relevante em sua página de ajuda e as diretrizes na self-study tag wiki . Adicione a self-studytag e modifique sua pergunta conforme sugerido (ou seja, mostre o que você tentou ou, pelo menos, explique o que você sabe sobre expectativas e binômios) e identifique onde estão suas dificuldades.

Glen_b -Reinstala Monica

você também pode olhar para a desigualdade de Jensen

seanv507

@ seanv507 certamente, se usarmos a desigualdade de Jensen, isso ocorre em uma única etapa, e se Théla cobriu isso, seria tudo o que seria necessário, mas nesse caso há uma prova realmente elementar que está bem ao alcance dos alunos que conhecem apenas alguns propriedades muito básicas de expectativa e variação.

Glen_b -Reinstala Monica

que se torna

, resolvendo então obtemos:

. Isso está correto?

E [Y^{2}] = V a r [Y] + E [Y]^{2}

$E[Y^2] = Var[Y] + E[Y]^2$

V a r [X] + (E [X] - n p)^{2}

$Var[X] + (E[X] - np)^2$

n p q + (n p - n p)^{2} = n p q

$npq + (np - np)^2 = npq$

thyde

Eu acho que você está se confundindo com Var. basta usar E. você precisa mostrar que

E | X - n p | \leq \sqrt{E [| X - n p |^{2}]}

$E|X-np|\le \sqrt{E[|X-np|^2]}$

seanv507

Respostas:

Para que o tópico do comentário não exploda, estou coletando minhas dicas para uma prova completamente elementar (você pode fazê-lo mais curto que isso, mas espero que isso torne cada etapa intuitiva). Excluí a maioria dos meus comentários (o que infelizmente os deixa parecendo um pouco desconjuntados).

Seja . Nota . Mostre . Se você já conhece , pode apenas declarar , uma vez que mudar por uma constante não faz nada para variar. $Y=X-np$ $E(Y)=0$ $\text{Var}(Y)=npq$ $\text{Var}(X)$ $\text{Var}(Y)$
Seja . Escreva uma desigualdade óbvia em , expanda e use o resultado anterior. [Você pode reorganizar levemente isso em uma prova clara, mas estou tentando motivar como chegar a uma prova, não apenas a prova final.] $Z=|Y|$ $\text{Var}(Z)$ $\text{Var}(Z)$

É tudo o que há para isso. São 3 ou 4 linhas simples, usando nada mais complicado do que propriedades básicas de variação e expectativa (a única maneira de o binômio chegar a isso é fornecer a forma específica de e - você pode provar a caso geral de que o desvio médio é sempre tão prontamente). $E(X)$ $\text{Var}(X)$ $\leq \sigma$

[Como alternativa, se você estiver familiarizado com a desigualdade de Jensen, poderá fazê-lo um pouco mais brevemente.]

Agora que já passou algum tempo, descreverei um pouco mais detalhadamente sobre como abordá-lo:

$Z=|X-nq|$ $\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$ $E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$

Observe que as variações devem ser positivas. O resultado segue.

Glen_b -Reinstate Monica
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