Um estranho passo em uma prova sobre a distribuição de formas quadráticas

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O teorema a seguir vem da 7ª edição da " Introdução à estatística matemática ", de Hogg, Craig e Mckean, e trata da condição necessária e suficiente para a independência de duas formas quadráticas de variáveis normais.

Este é um extrato bastante longo, mas o que eu gostaria de receber ajuda é apenas a transição do 9.9.6 para o 9.9.7 . Incluí as etapas anteriores apenas para fornecer uma imagem geral, caso um resultado anterior seja implicitamente usado. Você poderia me ajudar a entender porque 9.9.6 e 9.9.7 são representações equivalentes? Eu tentei obter 9.9.7 por conta própria, mas todas as minhas tentativas terminaram em frustração.

A prova continua depois disso, mas não tenho outros problemas. Agradeço antecipadamente.

insira a descrição da imagem aqui

self-study mathematical-statistics quadratic-form JohnK
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A B = {Γ_{11}^{'} Λ_{11}} Γ_{11} Γ_{21}^{'} {Λ_{22} Γ_{21}} = U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V

${\mathbf {AB}}=\{\mathbf{\Gamma_{11}'\Lambda_{11}}\}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}\{\mathbf{\Lambda_{22}\Gamma_{21}}\}={\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$

U^{'} A B V^{'} = U^{'} U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V V^{'}

$\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'=\mathbf{U}'{\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}\mathbf{V}'$

(U^{'} U)^{- 1} U^{'} A B V^{'} (V V^{'})^{- 1} = Γ_{11} Γ_{21}^{'}

$(\mathbf{U}'{\mathbf U})^{-1}\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'({\mathbf V}\mathbf{V}')^{-1}=\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$

Γ_{11} Γ_{21}^{'} = 0

$\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}=0$

A B = 0

$\mathbf{{AB}}=0$

Xi'an
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Sim, essa foi minha linha de pensamento com precisão, obrigado. Eu olhei para a lista de erratas deste livro, mas não está nele, então achei extremamente intrigante.

30915 JohnK

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Entrei em contato com o autor, professor Joseph W. McKean, que reconheceu o erro e gentilmente ofereceu a correção. Estou postando aqui, caso alguém que esteja estudando por conta própria precise dele.

Após (9.9.6) escrever:

$\mathbf{U}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}^{\prime}$

$\mathbf{AB}=\mathbf{0}$

U [Γ_{11} Γ_{21}^{'} V] = 0

$\mathbf{U}\left[\mathbf{\Gamma}_{11}\mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}\mathbf{V}\right]=\mathbf{0}$

$\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$

V^{'} [Γ_{21} Γ_{11}] = 0

$\mathbf{V}^{\prime} \left[ \mathbf{\Gamma}_{21} \mathbf{\Gamma}_{11} \right]=\mathbf{0}$

$\mathbf{V}^{\prime}$ $\mathbf{\Gamma}_{11} \mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}=\mathbf{0}$ $\left(9.9.5 \right)$

(e a prova continua na outra direção)

JohnK
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