Quando as aproximações das séries de Taylor às expectativas de funções (inteiras) convergem?

Tome uma expectativa da forma para alguma variável aleatória univariada e uma função inteira (ou seja, o intervalo de convergência é toda a linha real) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

Eu tenho um momento gerando função para e, portanto, pode facilmente calcular momentos inteiros. Use uma série de Taylor em torno de e aplique a expectativa em termos de uma série de momentos centrais, esta série, $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

Minha pergunta é: sob quais condições a variável aleatória (e também qualquer coisa adicional em $f(\cdot)$ ) converge a aproximação da expectativa à medida que adiciono termos (por exemplo, $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ ).

Como ele não parece convergir para o meu caso (uma variável aleatória poisson $f(x) = x^{\alpha}$ ), existem outros truques para encontrar expectativas aproximadas com momentos inteiros quando essas condições falham?

expected-value approximation jlperla
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veja aqui: stats.stackexchange.com/questions/70490/...

Jonathan

@ Jonathan Obrigado. Veja minhas edições agora que ficaram mais claras. Muito útil, apesar de não ter conseguido decifrá-lo. A partir disso, parece que uma condição suficiente para que isso funcione é que minha variável aleatória esteja fortemente concentrada? Embora eu esteja tendo problemas para resolver exatamente como usar a Desigualdade de Hoeffding etc. para comparar com essas notas.

Jlperla

O que você quer dizer com "uma variável aleatória de poisson "? Esse é um caso ou dois e qual é o pdf?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

2224 Carl

@Carl Há alguns anos, mas se bem me lembro, a variável era para alguns com PDF em en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution . Essa era a função em que eu assumia a expectativa. ou seja,

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

jlperla

Não tenho certeza do que você está perguntando. Que tal os momentos mais altos da distribuição de Poisson sobre a origem serem polinômios de Touchard em : onde {chaves} indicam números Stirling do segundo tipo?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

2222 Carl

Respostas:

Supondo que seja analítico real, Converge quase certamente (de fato com certeza) para . $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

Uma condição padrão sob a qual como convergência implica convergência de expectativa, ou seja, é que como para alguns tais que . (Teorema da Convergência Dominada.)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

Esta condição seria válida se a série de potência convergir absolutamente como, por exemplo, e

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

Seu exemplo de uma variável aleatória Poisson , , sugere que a integrabilidade acima do critério de limite absoluto é a mais fraca possível, em geral. $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

Michael
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-1

A aproximação convergirá se a função f (x) admitir a expansão de séries de potência, isto é, todas as derivadas existem. Também será totalmente alcançado se derivadas de um limite específico e acima forem iguais a zero. Você pode consultar Populis [3-4] e Stark and Woods [4].

E. Mehrban
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"Também será totalmente alcançado se as derivadas de um limite específico e acima forem iguais a zero". Se as derivadas existem e são iguais a zero, essa não é outra maneira de dizer polinômio?

Acumulação

Isso não é verdade. Quando "todas as derivadas existem" no ponto da expansão das séries de potência, ela não precisa convergir para lugar algum. (O exemplo padrão é a série Maclaurin de ) Outro é que, mesmo quando a série converge em algum momento, ela não precisa convergir para todos os lugares. Um exemplo simples é a série Maclaurin deQuando isso ocorre, a convergência depende dos detalhes da variável aleatória. Por exemplo, suponha que tenha qualquer distribuição t de Student e considereEventualmente, nem existe!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

whuber