Encontre o MVUE exclusivo

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Esta questão é do problema 7.4.9 de Robert Hogg, Introdução à estatística matemática 6a versão, na página 388.

Seja ser iid com pdf zero em outro lugar, onde .X1,...,Xnf(x;θ)=1/3θ,θ<x<2θ,θ>0

(a) Encontre o valor deθ^θ

(b) uma estatística suficiente para ? Por quê ?θ^θ

(c) o MVUE exclusivo de ? Por quê ?(n+1)θ^/nθ

Eu acho que posso resolver (a) e (b), mas estou confuso com (c).

Para):

Seja as estatísticas do pedido.Y1<Y2<...Yn

-θ<y1yn<2θL(θ;x)=0L(θ;x)=13θ×13θ×...×13θ=1(3θ)n quando e ; em outro lugarθ<y1yn<2θL(θ;x)=0

dL(θ;x)dθ=n(3θ)n1 , uma vez que , podemos ver que essa derivada é negativa,θ>0

então a função de probabilidade está diminuindo.L(θ;x)

De e , e y n < 2 θ ) ( θ > - y 1 θ > y n / 2 ) , θ > m a x ( - y 1 , y n / 2 )(θ<y1yn<2θ) (θ>y1θ>yn/2),θ>max(y1,yn/2)

θ θ > m a x ( - y 1 , y n / 2 ) θ = m a x ( - y 1 , y n / 2 )L(θ,x) está diminuindo, portanto, quando tiver o menor valor, a função de probabilidade alcançará o máximo, pois , quando , a função de probabilidade alcançará o valor máximo.θθ>max(y1,yn/2)θ=max(y1,yn/2)

mleθ^=max(y1,yn/2)

Para (b):

f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)ninI(θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(max(xi)<2θ)×1

pelo teorema de fatoração de Neyman, é uma estatística suficiente para . Portanto, também é uma estatística suficienteyn=max(xi)θyn/2

Samely,

f(x1;θ)f(x2;θ)...f(xn;θ)=1(3θ)ninI(θ<xi<2θ)=1(3θ)nI(min(xi)>θ)×1

pelo teorema de fatoração de Neyman, é uma estatística suficiente para . Portanto, também é uma estatística suficiente.y1=min(xi)θy1

Para (c):

Primeiro, encontramos o CDF deX

F(x)=θx13θdt=x+θ3θ,θ<x<2θ

Em seguida, podemos encontrar pdf para e na fórmula do livro para as estatísticas do pedido.Y1Yn

f(y1)=n!(11)!(n1)![F(y1)]11[1F(y1)]n1f(y1)=n[1y1+θ3θ]n113θ=n1(3θ)n(2θy1)n1

Samely,

f(yn)=n(yn+θ3θ)n113θ=n1(3θ)n(yn+θ)n1

Em seguida, vamos mostrar a integralidade da família de pdf para ef(y1)f(yn)

E[u(Y1)]=θ2θu(y1)n1(3θ)n(2θy1)n1dy1=0θ2θu(y1)(2θy1)dy1=0 . Por (derivar a integral), podemos mostrar para todos .FTCu(θ)=0θ>0

Portanto, a família do pdf está completa.Y1

Da mesma forma, ainda pela , podemos mostrar que a família de pdf está completa.FTCYn

O problema é agora que precisamos mostrar que é imparcial.(n+1)θ^n

Quandoθ^=y1

E(y1)=θ2θ(y1)n(3θ)n(2θy1)n1dy1=1(3θ)nθ2θy1d(2θy1)n

Podemos resolver a integral integrando peças

E(y1)=1(3θ)n[y1(2θy1)nθ2θθ2θ(2θy1)ndy1]=1(3θ)n[θ(3θ)n(3θ)n+1n+1]=θ3θn+1=(n2)θn+1

E((n+1)θ^n)=n+1nE(y1)=n+1n(n2)θn+1=n2nθ

Portanto, não é um estimador imparcial de quando(n+1)θ^nθθ^=y1

Quandoθ^=yn/2

E(Yn)=θ2θynn(3θ)n(yn+θ)n1dyn=1(3θ)nθ2θynd(yn+θ)n=1(3θ)n[yn(yn+θ)nθ2θθ2θ(yn+θ)ndyn]=1(3θ)n[2θ(3θ)(3θ)n+1n+1]=2θ3θn+1=2n1n+1θ

E((n+1)θ^n)=n+1nE(Yn/2)=n+12nE(Yn)=n+12n2n1n+1θ=2n12nθ

Ainda assim, não é um estimador imparcial de quando(n+1)θ^nθθ^=yn/2

Mas a resposta do livro é que é um MVUE exclusivo. Eu não entendo por que é um MVUE se é um estimador tendencioso.(n+1)θ^n

Ou minhas clulas estão erradas, por favor me ajude a encontrar os erros, posso lhe dar cálculos mais detalhados.

Muito obrigado.

Norte profundo
fonte
Não vejo nenhum cálculo da distribuição de . θ^
whuber
Obrigado, whuber, o . É ou depende de qual é maior. Calculei as distribuições para e . Pode ver e no texto. θ^=max(y1,yn/2)y1yn/2y1ynf(y1)=n1(3θ)n(2θy1)n1f(yn)=n1(3θ)n(yn+θ)n1
Deep North
E das duas distribuições acima, calculei e depoisE(θ^)=E(Y1)E(θ^)=E(Yn/2)E(n+1nθ^)
Deep North

Respostas:

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Trabalhar com extremos requer cuidados, mas não precisa ser difícil. A questão crucial, encontrada no meio do post, é:

... precisamos mostrar que é imparcial.n+1nθ^n

Mais cedo você obteve

θ^=max(y1,yn/2)=max{min{yi},max{yi}/2}.

Embora que parece confuso, os cálculos tornam-se fundamental quando se considera a função de distribuição cumulativa . Para começar, observe que . Seja um número nesse intervalo. Por definição,F0θ^θt

F(t)=Pr(θ^t)=Pr(y1<t and yn/2t)=Pr(ty1y2yn2t).

Essa é a chance de que todos os valores estejam entre e . Esses valores vinculam um intervalo de comprimento . Como a distribuição é uniforme, a probabilidade de qualquer específico estar neste intervalo é proporcional ao seu comprimento:nt2t3tyi

Pr(yi[t,2t])=3t3θ=tθ.

Como os são independentes, essas probabilidades se multiplicam, dandoyi

F(t)=(tθ)n.

A expectativa pode ser encontrada imediatamente, integrando a função de sobrevivência no intervalo de valores possíveis para , , usando para a variável:1Fθ^[0,θ]y=t/θ

E(θ^)=0θ(1(tθ)n)dt=01(1yn)θdy=nn+1θ.

(Essa fórmula para a expectativa é derivada da integral usual via integração por partes. Os detalhes são fornecidos no final de https://stats.stackexchange.com/a/105464 .)

Reescalonar por fornece(n+1)/n

E(n+1nθ^)=θ,

QED .

whuber
fonte
Existe um erro de digitação para a última fórmula, ela deve ser notθ^θ^n
Deep North
@ Deep Oh, é claro! Obrigado por apontar isso. Agora está consertado.
whuber