invariância da correlação com a transformação linear:

Na verdade, esse é um dos problemas da 4ª edição da Econometria básica de Gujarati (Q3.11) e diz que o coeficiente de correlação é invariável em relação à mudança de origem e escala, que é onde , , , são constantes arbitrárias.

$$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$b$$c$$d$

Mas minha pergunta principal é a seguinte: Seja e observações emparelhadas e suponha que e estejam correlacionados positivamente, ou seja, . Eu sei que seria negativo com base na intuição. No entanto, se considerarmos , segue-se que que faz Não faz sentido.$X$$Y$$X$$Y$$\text{corr}(X,Y)>0$$\text{corr}(-X,Y)$$a=-1, b=0, c=1, d=0$

$$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$$

Eu apreciaria se alguém pudesse apontar a lacuna. Obrigado.

Como e a igualdade somente é válido quando e são positivos ou negativos, ou seja, .

$$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$$ $$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$$ $$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$$ $a$$c$$ac>0$