invariância da correlação com a transformação linear:

9

Na verdade, esse é um dos problemas da 4ª edição da Econometria básica de Gujarati (Q3.11) e diz que o coeficiente de correlação é invariável em relação à mudança de origem e escala, que é onde , , , são constantes arbitrárias.

corr(aX+b,cY+d)=corr(X,Y)
abcd

Mas minha pergunta principal é a seguinte: Seja e observações emparelhadas e suponha que e estejam correlacionados positivamente, ou seja, . Eu sei que seria negativo com base na intuição. No entanto, se considerarmos , segue-se que que faz Não faz sentido.XYXYcorr(X,Y)>0corr(X,Y)a=1,b=0,c=1,d=0

corr(X,Y)=corr(X,Y)>0

Eu apreciaria se alguém pudesse apontar a lacuna. Obrigado.

Daniel
fonte
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Se o livro realmente diz o que você diz, está errado; você precisa de umac>0
Glen_b -Reinstar Monica
@Glen_b Sim, acho que o livro declara isso incorretamente, a menos que eu seja cego, pois não vejo realmente nenhuma condição imposta às constantes.
Daniel
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Pode ser que a escala seja entendida como uma quantidade positiva.
Xian
@ Xi'an Poderia ser, mas eu não acho que esteja indicado no livro. Mas, muito obrigado pela edição e pela resposta, a propósito :) #
Daniel Daniel

Respostas:

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Como e a igualdade somente é válido quando e são positivos ou negativos, ou seja, .

corr(X,Y)=cov(X,Y)var(X)1/2var(Y)1/2
cov(aX+b,cY+d)=accov(X,Y)
corr(aX+b,cY+d)=corr(X,Y)
acac>0
Xi'an
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