Devo usar um cdf binomial ou um cdf normal ao lançar moedas?

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Uma moeda precisa ser testada quanto à justiça. 30 cabeças aparecem após 50 lançamentos. Supondo que a moeda seja justa, qual é a probabilidade de obter pelo menos 30 cabeças em 50 movimentos?

A maneira correta de resolver esse problema, de acordo com meu professor, é fazer

normalcdf(min = .6, max = ∞, p = .5, σ = sqrt(.5 * .5 / 50) = 0.0786

No entanto, assumi uma função de distribuição cumulativa binomial como esta

1 - binomcdf(n = 50, p = .5, x = 29) = 0.1013

Acredito que os critérios para uma distribuição binomial sejam satisfeitos: os eventos individuais são independentes, existem apenas dois resultados possíveis (cara vs. coroa), a probabilidade é constante para a questão (0,5) e o número de tentativas é fixado em 50 No entanto, obviamente, os dois métodos fornecem respostas diferentes, e uma simulação suporta minha resposta (pelo menos nas poucas vezes em que a executei; obviamente, não posso garantir que você obtenha os mesmos resultados).

Meu professor está errado ao supor que uma curva de distribuição Normal também seria uma maneira válida de solucionar esse problema (em nenhum momento se diz que a distribuição é Normal, mas n * p e n * (1-p) são maiores que 10), ou entendi algo errado sobre distribuições binomiais?

self-study normal-distribution binomial waiwai933
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Uma pessoa com experiência no uso de aproximações normais ao binômio procederia de maneira um pouco diferente: aplicaria a correção de continuidade (usual) , como em 1 - pnorm((30-0.5)/50, mean=0.5, sd=sqrt(0.5*(1-0.5)/50))(esta é uma expressão R), cujo valor é 0,1015, em concordância bastante estreita com o binômio cdf .

whuber

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Aqui está uma ilustração das respostas do whuber e onestop.

correção de continuidade

Em vermelho, a distribuição binomial , em preto a densidade da aproximação normal e em azul a superfície correspondente a para . $\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathcal N(25, 12.5)$ $\mathbb P(Y > 29.5)$ $Y \sim \mathcal N(25, 12.5)$

A altura de uma barra vermelha correspondente a para é bem aproximada por . Para obter uma boa aproximação de , você precisa usar . $\mathbb P(X=k)$ $X\sim\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathbb P\left( k -{1\over 2} < Y < k + {1\over 2}\right)$ $\mathbb P(X \ge 30)$ $\mathbb P(Y>29.5)$

(edit) Isto é (obtido em R por ) enquanto a aproximação está correta.

P (Y > 29.5) ≃ 0.1015459,

$\mathbb P(Y>29.5) \simeq 0.1015459,$ 1-pnorm(29.5,25,sqrt(12.5))

P (X \geq 30) ≃ 0.1013194 :

$\mathbb P(X \ge 30) \simeq 0.1013194:$

Isso é chamado de correção de continuidade . Ele permite que você calcule até "probabilidades de pontos" como : $\mathbb P(X=22)$

\begin{aligned} P (X = 22) & = (\binom{50}{22}) {0.5}^{22} \cdot {0.5}^{28} ≃ 0.07882567, \\ P (21.5 < Y < 22.5) & ≃ 0.2397501 - 0.1610994 ≃ 0.07865066. \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb P(X=22) &= {50 \choose 22} 0.5^{22} \cdot 0.5^{28} \simeq 0.07882567, \\ \mathbb P(21.5 < Y < 22.5) & \simeq 0.2397501 - 0.1610994 \simeq 0.07865066.\end{align*}$

Elvis
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A distribuição normal fornece uma aproximação mais próxima ao binomial se você usar uma correção de continuidade . Usando isso para o seu exemplo, recebo 0,1015. Como esse é um dever de casa, deixarei que você preencha os detalhes.

uma parada
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Considere isto. Na distribuição binomial discreta, há probabilidades reais para números individuais. No normal contínuo que não é o caso, você precisa de um intervalo de valores. Então ... se você fosse aproximar a probabilidade de um valor individual, digamos X, do binômio com o normal, como você faria isso? Observe um histograma de probabilidade da distribuição binomial com a curva normal colocada sobre ele. Você precisaria realmente selecionar de X ± 0,5 para capturar algo semelhante ao que a probabilidade binomial de X é com a aproximação normal.

Agora estenda isso para quando você estiver selecionando um final da distribuição. Quando você usa o método binomial, está selecionando a probabilidade de todo o seu valor (30 no seu caso) mais tudo mais. Portanto, quando você faz o contínuo, precisa capturar e selecionar 0,5 menos também, para que o corte na distribuição contínua seja 29,5.

John
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Na verdade, a pergunta exibe uma compreensão cuidadosa do problema e não parece estar procurando uma resposta para uma pergunta rotineira da lição de casa. Embora esteja marcado como lição de casa , considere abrir uma exceção aqui. Em particular, uma boa discussão sobre o uso da distribuição Normal para aproximar distribuições discretas (como Binômios e Poissons com N's grandes) seria apropriada e bem-vinda aqui.

whuber

Devo usar um cdf binomial ou um cdf normal ao lançar moedas?

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