Como adicionar duas variáveis aleatórias dependentes?

Eu sei, não posso usar convolução. Eu tenho duas variáveis aleatórias A e B e elas são dependentes. Preciso da função distributiva de A + B

random-variable non-independent Mesko
fonte

Se A e B são dependentes, a distribuição conjunta de A e B é necessária para obter a distribuição de A + B.

Vinux

Eu não entendi sua pergunta. O que você sabe e por que você não pode usar a convolução?

Xian

Eu sei que a função distributiva de A e B. f A e B são duas variáveis aleatórias independentes e contínuas, então eu posso encontrar a distribuição de Z = A + B tomando a convolução de f (A) eg (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞f (A) g (z-B) dA Mas o que posso fazer quando eles não são independentes? Sinto muito, se isso é uma pergunta idiota.

Mesko

Não é uma pergunta idiota para Mesko, mas o que as pessoas estão apontando é que elas precisam de mais informações. A resposta depende de como

não são independentes. Uma descrição completa disso é dada pela distribuição conjunta de

, que é o que o vinux pede. Xi'an está investigando um pouco mais delicadamente, mas realmente procura o mesmo tipo de informação para ajudá-lo a progredir.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

whuber

Respostas:

Como o vinux aponta, é necessário a distribuição conjunta de e $A$ $B$ , e não é óbvio pela resposta de OP Mesko "Eu sei a função distributiva de A e B" que ele está dizendo que conhece a distribuição conjunta de A e B: ele pode bem, dizendo que ele conhece as distribuições marginais de A e B. No entanto, assumindo que Mesko conhece a distribuição conjunta, a resposta é dada abaixo.

A partir da convolução integral no comentário de OP Mesko (que está errado, a propósito), pode-se inferir que Mesko está interessado em variáveis aleatórias conjuntamente contínuas e com função de densidade de probabilidade conjunta . Nesse caso, $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Quandoesão independentes, a função da densidade da junta é fator de influência no produto das funções da densidade marginal:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ e obtemos a fórmula de convolução mais familiar para variáveis aleatórias independentes. Um resultado semelhante também se aplica a variáveis aleatórias discretas.

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ $F_{A+B}(z)$

Dilip Sarwate
fonte

Isso está relacionado ao meu comentário e resposta a outra pergunta que trata de distribuições conjuntas há alguns dias.

Xi'an

Antes, não sei se o que estou dizendo está correto, mas fiquei com o mesmo problema e tentei resolvê-lo desta maneira:

f_{UMA, B} (uma, b) = (uma + b) H (uma, b) H (- uma + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$ ou equivalente

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$ Now you can perform the integral without caring about limits of integration.

This is the wolfram rapresentation of the joint : A

Computing the integral I have : B

Plotted : C

That's the function :

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$ and it's normalized as you can easily check.

R.Lac
fonte

The question did nt seem to be specific enough about the joint distribution to get an answer. How did you come up with one.?

Michael R. Chernick

+1 for correctly solving the alleged counterexample in @cdlg's answer and showing that the calculations if carried out correctly do give the correct answer, and not the erroneous s results in cdlg's answer. I can't believe that that answer has received two upvotes.

Dilip Sarwate

Como adicionar duas variáveis ​​aleatórias dependentes?

Respostas:

Como adicionar duas variáveis aleatórias dependentes?