A soma de duas variáveis é independente de uma terceira variável, se for o caso por si só?

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Dada 3 variáveis aleatórias $X_1$ , $X_2$ e $Y$ . $Y$ e $X_1$ são independentes. $Y$ e $X_2$ são independentes. Intuitivamente, eu assumiria que $Y$ e $X_1+X_2$ são independentes. É esse o caso e como posso provar isso formalmente?

independence matthiash
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É possível construir X1, X2, Y de forma que as condições acima sejam atendidas, mas Y é uma função de Z = (X1, X2): math.stackexchange.com/questions/1712177/… Contradita a declaração de resposta: 'Y é independente de Z '

user233740 11/11/19

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EDIT: Como apontado por outros usuários, esta resposta não está correta porque assume que $Y$ é independente de $(X_1,X_2)$

Observe que $X_1 + X_2$ é uma função de $Z = (X_1,X_2)$ porque se você toma

f (x, y) = x + y

$f(x,y) = x+y$ obtém

X_{1} + X_{2} = f (Z)

$X_1 + X_2 = f(Z)$ .

É um teorema bem conhecido da probabilidade de que, se $R_1$ e $R_2$ são variáveis aleatórias independentes e $f_1$ e $f_2$ são funções mensuráveis em seguida $f_1(R_1)$ é independente de $f_2(R_2)$ (Teorema 10,4 de "Probabilidade : Um curso de graduação "2ª ed. De Allan Gut).

Como $f$ é mensurável e Y é independente de $Z$ , sabemos que $Y$ também é independente de $f(Z) = X_1 + X_2$ . Observe que tomamos $f_1$ como função de identidade $f_2 = f$ .

Mur1lo
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Essa resposta assume que

é independente de

mas a questão assume apenas que

é independente de cada um dos

Y

$Y$

(X_{1}, X_{2})

$(X_1,X_2)$

Y

$Y$

X_{i} .

$X_i.$

whuber

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(Para concluir este tópico, estou elevando um comentário do usuário233740 em uma resposta.)

A afirmação não é verdadeira.

$X_1+X_2$ $Y$ $(X_1,X_2,Y)$

(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .

$\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&1\\0&1&1}.$

$(1/2)$

$X_1$ $X_2,$ $Y$ $Y=0,$ $X_1+X_2$ $0$ $2$ $Y=1,$ $X_1+X_2=1.$

Pr (X_{1} + X_{2} ∣ Y)

$\Pr(X_1+X_2\mid Y)$

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

Y

$Y$

whuber
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A soma de duas variáveis ​​é independente de uma terceira variável, se for o caso por si só?

Respostas:

A soma de duas variáveis é independente de uma terceira variável, se for o caso por si só?