Expectativa de

Seja $X_1$ , $X_2$ , $\cdots$ , $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ e seja independente. Qual é a expectativa de $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ ?

É fácil encontrar $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ por simetria. Mas eu não sei como encontrar a expectativa de$\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$ . Poderia, por favor, fornecer algumas dicas?

O que obtive até agora

Eu queria encontrar $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$por simetria. Mas esse caso é diferente do caso de$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$porque$\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$pode não ser igual a$\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$. Então, eu preciso de algumas outras idéias para encontrar a expectativa.

De onde vem esta pergunta

$\|Ax\|_2^2$$x$$S^{d-1}$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$$\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$$i \neq j$

$$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ para obter outras expectativas.

A distribuição de é qui-quadrado (e também um caso especial de gama).$X_i^2$

A distribuição de é, portanto, beta.$\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

A expectativa do quadrado de uma versão beta não é difícil.

Esta resposta expande a resposta de @ Glen_b.

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Fato 1: Se , , , são variáveis ​​aleatórias de distribuição normal padrão independentes, então a soma de seus quadrados tem a distribuição qui-quadrado com graus de liberdade. Em outras palavras, $X_1$$X_2$$\cdots$$X_n$$n$

$$X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$$

Portanto, e .$X_1^2 \sim \chi^2(1)$$X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

Fato 2: Se e , então $X \sim \chi^2(\lambda_1)$$Y \sim \chi^2(\lambda_2)$

$$\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$$

Portanto, .$Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

Fato 3: Se , então e $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$

$$\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$$ $$\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$$

Portanto, e

$$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$$ $$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$$

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Finalmente,

$$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$$