Seja a estatística de ordem de uma amostra iid do tamanho de . Suponha que os dados sejam censurados, de modo que apenas vejamos a parte superior por cento dos dados, ou seja,Coloque , qual é a distribuição assintótica de
Isso está um pouco relacionado a essa questão e a isso e também marginalmente a essa questão.
Qualquer ajuda seria apreciada. Tentei abordagens diferentes, mas não consegui progredir muito.
Respostas:
Como é apenas um fator de escala, sem perda de generalidade, escolha unidades de medida que , tornando a função de distribuição subjacente com densidade .λ = 1 F (λ λ=1 f ( x ) = exp ( - x )F(x)=1−exp(−x) f(x)=exp(−x)
A partir de considerações paralelas às do teorema do limite central para medianas da amostra , é assintoticamente normal com média e variância F - 1 ( p ) = - log ( 1 - p )X(m) F−1(p)=−log(1−p)
Devido à propriedade sem memória da distribuição exponencial , as variáveis agem como as estatísticas de ordem de uma amostra aleatória de extraída de , para a qual foi adicionado. Escrita(X(m+1),…,X(n)) n−m F X(m)
para sua média, é imediato que a média de seja a média de (igual a ) e a variação de seja vezes a variação de (também igual a ). O Teorema do Limite Central implica que o padronizado é assintoticamente padrão normal. Além disso, porque é condicionalmente independente de , que ao mesmo tempo tem a versão padronizada de tornar-se assintoticamente padrão normal e não correlacionada com . Isso é,F 1 Y 1 / ( n - m ) F 1 YY F 1 Y 1/(n−m) F 1 Y Y X(m) X(m) Y
tem assintoticamente uma distribuição normal padrão bivariada.
Os gráficos relatam dados simulados para amostras de ( iterações) . Um traço de assimetria positiva permanece, mas a abordagem da normalidade bivariada é evidente na falta de relação entre e e a proximidade dos histogramas à densidade normal padrão (mostrada em pontos vermelhos). 500 p = 0,95 Y - X ( m ) X ( m )n=1000 500 p=0.95 Y−X(m) X(m)
A matriz de covariância dos valores padronizados (como na fórmula ) para esta simulação foi confortavelmente perto da matriz de unidades que ela se aproxima.( 0,967 - 0,021 - 0,021 1,010 ) ,(1)
On p
R
código que produziu esses gráficos é prontamente modificado para estudar outros valores de , tamanho da simulação.pfonte