Uma empresa de eletrônicos produz dispositivos que funcionam corretamente 95% do tempo

Uma empresa de eletrônicos produz dispositivos que funcionam corretamente 95% do tempo. Os novos dispositivos são enviados em caixas de 400. A empresa deseja garantir que k ou mais dispositivos por caixa funcionem. Qual é o maior k para que pelo menos 95% das caixas atendam à garantia?

Tentativa: Eu sei que devo usar o Teorema do Limite Central para esse problema, mas não sei o que N deve estar na configuração, pois existem 400 dispositivos em cada caixa e o número de caixas é desconhecido. Alguém poderia me dar uma dica sobre a instalação? Obrigado!

Você deve assumir que os dispositivos em qualquer caixa são independentes. Nesse caso, o número de dispositivos em funcionamento em qualquer caixa deve seguir uma distribuição binomial. Os parâmetros são (o número de dispositivos na caixa) e (a taxa de trabalho).$400$$.95$

Suponha que você garanta ou mais dispositivos por trabalho em caixa. Você está dizendo que pelo menos 95% de todas essas caixas contêm ou mais dispositivos em funcionamento. No idioma das variáveis ​​e distribuições aleatórias, você está afirmando que a chance de uma variável Binomial igualar ou exceder é de pelo menos . A solução é encontrada calculando o percentil = quinto dessa distribuição. A única parte delicada é que, como essa é uma distribuição discreta, devemos tomar cuidado para não sermos únicos em nossa resposta.k ( 400 , 0,95 ) k 95 % 100 - $k$$k$$(400, 0.95)$$k$$95\%$$100-95$

Rnos diz que o quinto percentil é :$k=373$

qbinom(.05, 400, .95)

373

Vamos verificar calculando a chance de igualar ou exceder esse valor:

pbinom(373-1, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0.9520076

(Um pouco contra-intuitiva, pelo menos para mim, é que o lower.tail=FALSEargumento de R's pbinomfunção não não incluem o valor de seu argumento. Assim, pbinom(k,n,p,lower.tail=FALSE)calcula a chance associada com um resultado estritamente maior do que k.)

Como verificação dupla, vamos confirmar que não podemos garantir um valor ainda maior:

pbinom(373, 400, .95, lower.tail=FALSE)

0.9273511

Assim, o limiar de cai entre essas duas probabilidades sucessivas.$0.95$

Em outras palavras, descobrimos que

No longo prazo, das caixas conterão ou mais dispositivos operacionais, mas apenas deles conterão ou mais dispositivos operacionais. Portanto, não devemos garantir mais do que se queremos que ou mais das caixas atendam a esse padrão.k = 373 92,7 % 374 373 95 $95.2\%$$k=373$$92.7\%$$374$$373$$95\%$

Aliás, uma distribuição Normal acaba sendo uma excelente aproximação para essa questão em particular. (Em vez de exibir a resposta que você obteria, deixarei que você faça o cálculo, pois você solicitou informações apenas sobre como configurar o problema.)

Este gráfico compara a função de distribuição binomial à sua probabilidade normal aproximada.

Os dois não concordam perfeitamente - mas perto de eles são muito próximos.$k=373$

"Pelo menos" de "pelo menos 95%" significa "min".

Código:

#reproducible
set.seed(250048)

#how many times to check
N_repeats <- 500000

#stage for loop
temp <- numeric()

#loop
for (j in 1:N_repeats){

     #draw 400 samples at 95% rate
     y <- rbinom(n = 400,size = 1,prob = 0.95)

     #compute and store sampled rate
     temp[j] <- mean(y)

}

#print summary (includes min)
summary(temp)

Resultados:

> summary(temp)
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
 0.8900  0.9425  0.9500  0.9500  0.9575  0.9925

Quando olho para isso, vejo que o valor mínimo para a taxa é 89%. Isso significa que, em meio milhão de tentativas, o pior caso foi 89% de trabalho.

89% de 400 é 356. Isso dá cerca de 100%, não 95%. É provável que 100% real seja menor que isso.

#find the 95% case
quantile(temp,probs = 0.05)

rendimentos:

> quantile(temp,probs = 0.05)
    5% 
0.9325 

93,25% de 400 é 373. Esta não é uma borda dos dados, mas interior, por isso é provavelmente uma boa estimativa. Sua resposta será próxima de 373.